Warum ist in der Quantenmechanik ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m} und nicht ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

Question

Warum ist in der Quantenmechanik ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m} und nicht ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

jjepsuomi

Ich bin ein Neuling, der Quantenmechanik aus "Introduction to Quantum Meachanics" von Griffiths liest, und auf den ersten Seiten des Buches definiert der Autor:

⟨ X ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} X | Ψ (X, T) | D X = \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} (X) Ψ D X,

$\langle x\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} x|\Psi(x,t)|\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^* (x)\Psi \,dx,$

⟨ v ⟩ = \frac{D}{D T} (⟨ X ⟩) = - \frac{ich ℏ}{M} \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial X} D X,

$\langle v\rangle = \frac{d}{dt}\left(\langle x\rangle\right)= -\frac{i\hbar}{m}\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} \,dx,$

⟨ P ⟩ = M ⟨ v ⟩ = - ich ℏ \int_{- \infty}^{\infty} Ψ^{*} \frac{\partial Ψ}{\partial X} D X,

$\langle p\rangle = m\langle v\rangle= -i\hbar\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x} \,dx,$

Für mich scheint der Autor also mit Erwartungen zu arbeiten, was für mich absolut sinnvoll war. Ich habe dann den Ausdruck für kinetische Energie gegoogelt und erwartet, das herauszufinden:

⟨ T ⟩ = \frac{⟨ P ⟩^{2}}{2 M},

$\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m},$

aber stattdessen scheint es so

⟨ T ⟩ = \frac{⟨ P^{2} ⟩}{2 M} .

$\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m}.$

Warum ist das? Ich verstehe nicht, was im Fall der kinetischen Energie passiert ist. Warum arbeitet der Autor jetzt nicht mit erwartetem Impuls bei erwarteter kinetischer Energie? Können Sie mir vielleicht eine Ableitung von zeigen $\langle T\rangle$ Und noch wichtiger, eine Erklärung, warum es so gemacht wird ? In dem Buch sagt der Autor allgemein:

⟨ Q (X, P) ⟩ = \int Ψ^{*} Q (X, \frac{ℏ}{ich} \frac{\partial}{\partial X}) Ψ D X,

$\langle Q(x, p)\rangle = \int \Psi^*Q(x, \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x})\Psi\,dx,$

mit der Empfehlung, dass jeder $p$ sollte durch ersetzt werden $\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$ bei der Berechnung der Zinserwartung. Der Warum-Teil dafür war jedoch etwas nicht vorhanden.

Martin C.

Die erste Antwort hier könnte Ihnen helfen: physical.stackexchange.com/questions/424800/…

Biophysiker

In der Zwischenzeit werde ich eher mit Intuition als mit Mathematik erklären. Der Impuls hat eine Richtung, die kinetische Energie nicht. Sie können eine mittlere Dynamik von haben

0

$0$ aber eine mittlere kinetische Energie ungleich Null. Die Durchführung des Mittelwerts des Impulsquadrats behebt dies.

jjepsuomi

@MartinC. Danke, ich habe diese Antwort schon einmal überprüft, aber leider hat sie sich mir nicht wirklich erschlossen :/

jjepsuomi

@AaronStevens danke, die Intuition hat schon geholfen :) Die Details liegen mir natürlich noch im Nebel. Irgendeine andere Buchempfehlung, wo dies explizit abgeleitet werden könnte?

ZeroTheHero

Ein einfacheres Beispiel für die Unterscheidung zwischen

⟨ p ⟩^{2}

$\langle p\rangle^2$ Und

⟨ p^{2} ⟩

$\langle p^2\rangle$ wäre

⟨ x ⟩^{2} \neq ⟨ x^{2} ⟩

$\langle x\rangle^2\ne \langle x^2\rangle$ ; du bräuchtest

⟨ x^{2} ⟩

$\langle x^2\rangle$ um beispielsweise die durchschnittliche potentielle Energie eines harmonischen Oszillators zu erhalten.

Biophysiker

@ZeroTheHero Ich glaube nicht, dass das OP nach dem Unterschied zwischen fragt

⟨ p ⟩^{2}

$\langle p\rangle^2$ Und

⟨ p^{2} ⟩

$\langle p^2\rangle$ . Ich denke, das OP fragt sich nur, warum einer in der durchschnittlichen kinetischen Energie anstelle des anderen erscheint.

Knzhou

Wenn

A = B

$A = B$ , Dann

⟨ A ⟩ = ⟨ B ⟩

$\langle A \rangle = \langle B \rangle$ , weil wir dasselbe mit beiden Seiten einer Gleichung machen können. Das ist absolut alles, was dazu gehört. Wenn du denkst

H = p^{2} / 2 m

$H = p^2/2m$ , Dann

⟨ H ⟩ = ⟨ p^{2} / 2 m ⟩

$\langle H \rangle = \langle p^2 / 2m \rangle$ .

Antworten (2)

Warum ist in der Quantenmechanik ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m} und nicht ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

Die erste Antwort hier könnte Ihnen helfen: physical.stackexchange.com/questions/424800/…
In der Zwischenzeit werde ich eher mit Intuition als mit Mathematik erklären. Der Impuls hat eine Richtung, die kinetische Energie nicht. Sie können eine mittlere Dynamik von haben $0$ aber eine mittlere kinetische Energie ungleich Null. Die Durchführung des Mittelwerts des Impulsquadrats behebt dies.
@MartinC. Danke, ich habe diese Antwort schon einmal überprüft, aber leider hat sie sich mir nicht wirklich erschlossen :/
@AaronStevens danke, die Intuition hat schon geholfen :) Die Details liegen mir natürlich noch im Nebel. Irgendeine andere Buchempfehlung, wo dies explizit abgeleitet werden könnte?
Ein einfacheres Beispiel für die Unterscheidung zwischen $\langle p\rangle^2$ Und $\langle p^2\rangle$ wäre $\langle x\rangle^2\ne \langle x^2\rangle$ ; du bräuchtest $\langle x^2\rangle$ um beispielsweise die durchschnittliche potentielle Energie eines harmonischen Oszillators zu erhalten.
@ZeroTheHero Ich glaube nicht, dass das OP nach dem Unterschied zwischen fragt $\langle p\rangle^2$ Und $\langle p^2\rangle$ . Ich denke, das OP fragt sich nur, warum einer in der durchschnittlichen kinetischen Energie anstelle des anderen erscheint.
Wenn $A = B$ , Dann $\langle A \rangle = \langle B \rangle$ , weil wir dasselbe mit beiden Seiten einer Gleichung machen können. Das ist absolut alles, was dazu gehört. Wenn du denkst $H = p^2/2m$ , Dann $\langle H \rangle = \langle p^2 / 2m \rangle$ .

Alfred Centauri · Answer 1

Warum ist das?

Schauen wir uns der Konkretheit halber ein konkretes Beispiel dafür an $\langle T \rangle \ne \frac{\langle P \rangle^2}{2m}$

Stellen Sie sich den Fall vor, dass wir ein Teilchen mit Zustandsvektor haben (der Einfachheit halber in 1D arbeiten)

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + P ⟩ + | - P ⟩)

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+p\rangle + |-p\rangle\right)$

Wo $p \ne 0$ Und $P\,|\pm p\rangle = \pm p\,|\pm p\rangle$ (Dies sind Eigenkets des Impulsoperators).

Klar ist der Erwartungswert des Momentums

⟨ P ⟩ = ⟨ ψ | P | ψ ⟩ = \frac{1}{2} (+ P - P) = 0

$\langle P\rangle = \langle\psi|P|\psi\rangle = \frac{1}{2}\left(+p -p\right) = 0$

Dies liegt daran, dass die Impulsmessung die gleiche Chance hat, nachzugeben $+p$ Und $-p$ .

Eine kinetische Energiemessung kann jedoch nur eine Messung ergeben

T = \frac{(\pm P)^{2}}{2 M} = \frac{P^{2}}{2 M}

$T = \frac{(\pm p)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$

und so

⟨ T ⟩ = \frac{P^{2}}{2 M} \neq \frac{⟨ P ⟩^{2}}{2 M} = 0

$\langle T \rangle = \frac{p^2}{2m} \ne \frac{\langle P \rangle^2}{2m} = 0$

Biophysiker · Answer 2

Wenn Sie darüber nachdenken, kommt es wirklich nicht auf QM an, sondern hängt nur davon ab, wie Sie Durchschnittswerte bilden. QM kommt nur ins Spiel, wenn Sie diese Durchschnittswerte tatsächlich anhand des Zustandsvektors des Systems berechnen möchten.

Wir wissen das $T=\frac{p^2}{2m}$ , also der Durchschnitt davon ist dann

⟨ T ⟩ = ⟨ \frac{P^{2}}{2 M} ⟩ = \frac{⟨ P^{2} ⟩}{2 M}

$\langle T\rangle=\left\langle\frac{p^2}{2m}\right\rangle=\frac{\langle p^2\rangle}{2m}$

Da im Allgemeinen $\langle p^2\rangle\neq\langle p \rangle^2$ , hier landen wir.

Wollen Sie diesen Wert anhand der Positionsbasis finden, dann rufen wir QM auf:

⟨ T ⟩ = - \frac{ℏ^{2}}{2 M} \int Ψ^{*} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} Ψ D X

$\langle T\rangle=-\frac{\hbar^2}{2m}\int\Psi^*\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi\ dx$

Dies liegt daran, dass in der Positionsbasis die $P^2$ Betreiber ist $-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}$ .

Danke, es hat mir ein bisschen geholfen, aber ich verstehe es immer noch nicht zu 100%. Der Grund, warum ich denke, dass es mich verwirrt, ist, dass wir im Fall der Geschwindigkeit die erwartete Position verwendet haben. Im Falle des Impulses haben wir die erwartete Geschwindigkeit verwendet. Aber im Fall der kinetischen Energie haben wir den erwarteten Impuls NICHT verwendet. Kennen Sie vielleicht Bücher, in denen das ausführlich erklärt wird? :)
@jjepsuomi Welcher Teil? Wie funktionieren Durchschnittswerte mit Funktionen anderer Variablen oder wie berechnet man diese Durchschnittswerte? Denken Sie daran, dass der Kern Ihrer Frage (warum $\langle p^2\rangle$ anstatt $\langle p \rangle^2$ ) geht es nicht um QM
@jjepsuomi Die kinetische Energie verwendet den Erwartungswert des Impulses im Quadrat. Die Antwort zeigt explizit, wie das funktioniert: $\langle T\rangle=\left\langle\frac{p^2}{2m}\right\rangle=\frac{\langle p^2\rangle}{2m}$ .
Danke, ich glaube, ich habe es jetzt verstanden, huh, dann war es so einfach x)
@jjepsuomi Entschuldigung, ich wusste nicht, dass Sie nur ein Beispiel haben wollten, das das zeigt $\langle p\rangle^2\neq\langle p^2\rangle$ für einen konkreten Fall.
@AaronStevens mach dir keine Sorgen, danke trotzdem für deine Hilfe! =) Das war eigentlich nicht das, was ich wollte, meine Verwirrung war, dass "warum nicht der erwartete Wert von war $\langle p\rangle$ verwendet statt $\langle p^2\rangle$ . ich habe erwartet $\langle T \rangle$ im Sinne von zu definieren $\langle p\rangle$ und nicht in Bezug auf $\langle p^2\rangle$ denn ein ähnliches Muster scheint im Fall von verwendet worden zu sein $\langle v\rangle$ Und $\langle p\rangle$ . Ihre intuitive Antwort (die auch in Alfred Centauris Antwort stand) hat mir das jetzt klar gemacht $\langle p^2\rangle$ wird benötigt, damit ...
@jjepsuomi oh ok. Es schien nur so, als wollten Sie das spezifische Beispiel, da Sie Alfreds Antwort als die richtige Antwort akzeptierten. Ich wollte nur nicht, dass Sie denken, dass ich nicht versucht habe, Ihre Frage zu beantworten, und Sie nur mit Informationen beworfen habe :)
Kein Problem @AaronStevens =) Es tut mir leid, ich wollte Ihre Antwort nicht herabsetzen, weil Sie sie nicht akzeptiert haben. Es war nur so, dass ich neu in diesem Thema bin und dachte, ich sollte die Antwort akzeptieren, die den Deal für mich besiegelt hat :) Ich habe es vielleicht nicht aus Ihrer Antwort verstanden, denke ich, weil, obwohl trivial, das Ergebnis daraus folgt $T=p^2/2m$ , diese einfache Art, es zu tun, schien seltsamerweise von dem Muster abzuweichen, wie $\langle v\rangle$ Und $\langle p\rangle$ berechnet wurden. Ich hoffe, Sie verstehen, was ich meine :) Wenn ich jedoch lieber die Antwort mit der höchsten Bewertung akzeptieren sollte, dann ist das für mich vollkommen in Ordnung :)
@jjepsuomi Sie akzeptieren jede gewünschte Antwort. Darüber rege ich mich nicht auf. Ich ärgere mich nur über Leute hier, die einfach Informationen in eine Antwort stecken, wenn die Informationen für das OP nicht hilfreich sind. Ich wollte nur sichergehen, dass ich nicht so bin. Viel Glück auf deinem Bildungsweg.
Ausgezeichnet, ich verstehe dich und stimme zu :) Vielen Dank und auch dir alles Gute!

Warum ist in der Quantenmechanik ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m} und nicht ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

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Warum ist in der Quantenmechanik ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 ​​\rangle}{2m} und nicht ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

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