Warum werden allgemeine Wellenfunktionen durch Energieeigenfunktionen ausgedrückt?

Ich habe gelesen, dass die Eigenfunktionen jedes hermiteschen Operators als Basis verwendet werden können, um jede Funktion auszudrücken, aber ich habe immer nur die Eigenfunktionen des verwendeten Hamilton-Operators gesehen. Warum ist das? Könnte ich das Wasserstoffelektron in Form von Impuls-Eigenfunktionen ausdrücken?

Das ist eher eine Physikersprache für „Es ist mir egal, dass die Mathematiker ein Jahrhundert damit verbracht haben, die Funktionsanalyse für mich herauszufinden, und dass sie tatsächlich viel komplizierter ist, als ich jemals wissen möchte, ich nehme einfach an, dass sie einfach ist und einfach ist weitergehen.". Das Problem liegt in "beliebige Funktion", was ein mächtig großer Raum ist und definitiv nicht korrekt ist. Wenn Sie es durch "die meisten Funktionen, mit denen ich mich jemals in der Physik beschäftigen muss" ersetzen, kommen Sie jedoch irgendwohin.
Sie verwenden sphärische Harmonische, wenn Sie die Wasserstoffatomlösung ausdrücken, richtig? Sphärische Harmonische sind Eigenfunktionen von L z Und L 2 .
Wellenfunktion in der Koordinatendarstellung kann auf der physikalischen Ebene der Strenge die Zerlegung in die Eigenfunktionen des Koordinatenoperators sein. Analog ist seine Fourier-Transformierte - die Wellenfunktion in der Impulsdarstellung - eine Zerlegung in die Eigenfunktionen des Impulsoperators. Physikalische Genauigkeit, weil diese "Eigenfunktionen" nicht zum Hilbert-Raum gehören.

Antworten (1)

Allgemeine Wellenfunktionen können durch einen beliebigen Satz von Eigenfunktionen ausgedrückt werden.

Aber für gebundene Systeme haben die Energieeigenfunktionen ein paar ansprechende Eigenschaften, die sie beliebt machen:

  1. Die Energieeigenfunktionen sind die Lösungen des zeitunabhängigen Problems, sodass Sie an einem stationären System arbeiten können. Das macht die Mathematik oft viel einfacher.

  2. Die Energieeigenwerte können im Labor leicht zugänglich sein. Nachdem Sie also einige notwendige Annahmen und Annäherungen getroffen haben, um durch die Mathematik zu kommen, können Sie überprüfen , ob Ihre Ergebnisse gut mit der Realität übereinstimmen. Und die Spektroskopie ist ein unglaublich feinkörniges Werkzeug, sodass Sie überprüfen können, ob Ihre detaillierten Ergebnisse mit der Realität übereinstimmen, während Sie eine Annäherung nach der anderen lockern und sich einer analytischen oder numerischen Lösung der gesamten Physik der Situation nähern.

Ich habe jedoch keine besonderen Gedanken zur Verwendung der Energieeigenfunktion gegenüber einem anderen Satz für ungebundene Systeme.

Warum werden allgemeine Wellenfunktionen durch Energieeigenfunktionen ausgedrückt?
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