Ist es offensichtlich, dass die Hamilton-Observable in der Quantenmechanik auch die Energie-Observable sein sollte?

Die Tatsache, dass die Energie als Erzeuger von Zeitverschiebungen fungieren sollte, ist ein grundlegendes Postulat der Theorie.

Für den Anfang konnte man nicht einmal definieren$H$ sein $i\hbar \partial_t$Weil$H$muss auf dem Hilbertraum wirken$\mathcal{H}$während der erstere Operator auf Kurven wirkt, die auf dem Hilbert-Raum definiert sind, dh Karten$t \mapsto |\psi(t)\rangle$.

Die Tatsache, dass$i\hbar \partial_t |\psi(t)\rangle = H|\psi(t)\rangle$ist ein Postulat , in dem Sie sagen: "Ich möchte, dass Energie so funktioniert, wie sie sollte - der Generator von Zeitübersetzungen".

Es bleiben also zwei verbleibende Fragen: (i) warum ist das vernünftig und (ii) was ist das?$H$schließlich?

Was (i) betrifft, so ist dies aufgrund früherer Erfahrungen mit der klassischen Mechanik die beste Vermutung, die Sie haben können. Wenn Sie in der Klassischen Mechanik die Theorie aus der Sicht von Hamilton neu formulieren, entdecken Sie, dass Energie vollständig als Erzeuger von Zeittranslationen charakterisiert werden kann.

Wenn Sie dies wissen, übertragen Sie dies auch auf die QM und die Relativitätstheorie. Sie sind vielleicht an die Definition in der Relativitätstheorie gewöhnt, die den Viererimpuls gegeben hat$p^\mu$In einem bestimmten Rahmen ist die Energie des Teilchens definiert$E = p^0$. Das heißt genau, dass es Zeitübersetzungen erzeugt.

In der QM nimmt dies die Form des Postulats der Schrödinger-Gleichung an: Die Energie erzeugt die Zeitentwicklung, so dass sie auf eine Kurve wirkt$|\psi(t)\rangle$der Staaten mit$i\hbar \partial_t$und Rechnen bei$t$muss mit dem Einwirken auf das Ket zusammenfallen$|\psi(t)\rangle$für jeden fest$t$.

Kommen wir nun zu (ii). Wo bekommt man$H$aus? Aus der obigen Diskussion,$H$muss nur der Operator sein, der die Energie des Systems charakterisiert. Aus den Postulaten der QM gibt es für jede physikalische Größe eine beobachtbare. Energie ist eine physikalische Größe und bekommt ihre Observable. Es ist was$H$Ist.

Bei Systemen mit klassischen Gegenstücken, also quantisierten Systemen, erhält man$H$indem man zuerst den Klassiker aufschreibt $H$die Sie aus der klassischen Mechanik kennen, und es dann zu Quanten zu machen, indem Sie die klassischen Variablen durch ihre quantenbeobachtbaren Gegenstücke ersetzen.

Das traditionelle$H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}+V(\mathbf{r})$Hamiltonian sollte aus der klassischen Mechanik bekannt sein. Nun wird der Impuls in der Quantenformulierung zum Beobachtbaren$P$und die Position wird zum Beobachtbaren$\mathbf{R}$, dann ist Ihr Quanten-Hamiltonoperator$H = \frac{\mathbf{P}^2}{2m}+V(\mathbf{R})$.

Für andere Systeme müssen Sie wissen, was Energie für dieses bestimmte System ist. Sobald Sie den richtigen Ausdruck kennen, haben Sie den Hamilton-Operator, und er wird sich so verhalten, wie er sollte, und Zeitübersetzungen erzeugen.