Gemeinsame Eigenkets des sphärisch symmetrischen Hamiltonoperators

In einem QM-Text heißt es: „Betrachten Sie ein spinloses Teilchen, das einem kugelsymmetrischen Potential ausgesetzt ist. Die Wellengleichung ist bekanntermaßen trennbare Koordinaten, und die Energieeigenfunktionen können geschrieben werden als

$$\langle \mathbf{x'}| n,l,m \rangle = R_{nl}(r)Y_{l}^{m}(\theta, \phi)$$ wo der Positionsvektor $\mathbf{x}'$wird durch die Kugelkoordinaten angegeben $r, \theta$Und $\phi$."

Können wir davon ausgehen, dass wir dies durch die folgenden Schritte erhalten:

$$|n,l,m \rangle = |n,l \rangle \otimes |l,m \rangle$$ somit $$\langle x'|n, l, m \rangle = (\langle \vec{r}| \otimes \langle \theta, \phi|)(|n, l \rangle \otimes |l, m \rangle) = (\langle \vec{r}| n, l \rangle)\otimes(\langle \theta, \phi | l, m \rangle) = R_{nl}(r)Y_{l}^{m}(\theta, \phi)$$

Ist das Unsinn was ich geschrieben habe oder ist da was dran? Die Frage war dadurch motiviert, dass$|l,m\rangle = Y_{l}^{m}(\theta, \phi)$...daher bleibt uns übrig$R_{nl}(r)$.

Danke.