Spin-Bahn-Kopplung, Entartung der Eigenwerte

Dies ist im Grunde ein Problem des rekursiven Zählens. Beginnen Sie mit dem entkoppelten Basiszustand, also der Zustandsmenge der Form$\vert \ell m_\ell \rangle \vert s m_s\rangle$. Es gibt eindeutig$(2\ell+1)(2s+1)$davon, und die Aufgabe besteht darin, sie neu zu organisieren.

Das Schlüsselzählergebnis basiert auf der Beobachtung, dass$\vert \ell m_\ell\rangle\vert sm_s\rangle$ist ein Eigenzustand von$\hat J_z=\hat L_z+\hat S_z$mit Eigenwert$M=m_\ell+m_s$. In diesem Sinne organisieren Sie Ihre$\vert \ell m_\ell\rangle\vert sm_s\rangle$Staaten, damit diejenigen mit dem gleichen Wert von$M$sind auf der gleichen Linie. Explizit zum Beispiel hätten Sie das getan

$$\begin{align} \begin{array}{rlll} M=\ell+s:&\vert \ell \ell\rangle\vert s s\rangle \\ M=\ell+s-1:& \vert \ell,\ell-1\rangle\vert ss\rangle& \vert\ell\ell\rangle \vert s,s-1\rangle\\ M=\ell+s-2:&\vert \ell,\ell-2\rangle \vert ss\rangle & \vert\ell,\ell-1\rangle\vert s,s-1\rangle&\vert \ell \ell\rangle \vert s,s-2\rangle\\ \vdots\qquad& \qquad\vdots \end{array} \end{align}$$ und ersetze jeden Zustand durch a $\bullet$zu bekommen $$\begin{array}{rlll} \ell+s:&\bullet \\ \ell+s-1:&\bullet & \bullet\\ \ell+s-2:&\bullet&\bullet&\bullet\\ \vdots\qquad&\vdots \end{array}$$ Nun, wenn $M=\ell+s$ist der größte Wert und es kommt einmal vor, der Wert von $j=\ell+s$einmal vorkommen müssen und auch alle Zustände $\vert j=\ell+s,m_j\rangle$wird einmal vorkommen. Es liegt eine Linearkombination der beiden Zustände vor $M=\ell+s-1$das wird der Staat sein $\vert j=\ell+s,m_j=\ell+s-1\rangle$, wird es eine lineare Kombination der drei Zustände mit geben $M=\ell+s-2$das wird die sein $\vert j=\ell+s,m_j=\ell+s-2\rangle$Zustand usw. Da wir nur daran interessiert sind, die möglichen resultierenden Werte von aufzuzählen $j$, und nicht an den tatsächlichen Zuständen an sich interessiert, können wir die erste Spalte aus unserer Tabelle streichen, da sie einen Zustand mit enthält $m_j=\ell+s$, eine mit $m_j=\ell+s-1$usw. Das Eliminieren dieser Spalte ergibt die reduzierte Tabelle $$\begin{array}{rll} \ell+s-1: & \bullet\\ \ell+s-2:&\bullet&\bullet\\ \vdots\qquad&\vdots \end{array}$$ Da der Wert von $m_j=\ell+s-1$tritt einmal auf, der Wert $j=\ell+s-1$muss einmal vorkommen, und die Staaten $\vert \ell+s-1,m_j\rangle$kommen jeweils einmal vor. Wir entfernen diese aus der Liste, indem wir die erste Spalte löschen, um eine weiter reduzierte Tabelle zu erhalten $$\begin{array}{rl} \ell+s-2:&\bullet\\ \vdots\qquad &\vdots \end{array}$$ Der Prozess wird so bis zur Erschöpfung fortgesetzt. In den obigen Beispielen haben wir gefunden $j=\ell+s,\ell+s-1$und die letzte reduzierte Tabelle des Beispiels würde, wenn sie nicht leer ist, den Wert von angeben $j=\ell+s-1$. Es ist klar, dass dieser Prozess eine abnehmende Folge von erzeugt $j$. Der letzte Wert von $j$wird durch die Breite der Originaltabelle bestimmt. Es ist nicht schwer, sich davon zu überzeugen, dass die Breite des Tisches aufhören wird, sich zu vergrößern, sobald wir ihn erreichen $M=\vert \ell-s\vert$, und dies ist der letzte Wert von $j$. So finden Sie nach Erschöpfung die möglichen Werte von $j$im Sortiment $$\vert \ell-s\vert\le j\le \ell+s\, .$$

Betrachten Sie als Beispiel$\ell=1$Und$s=2$. Die ursprüngliche Tabelle sieht dann so aus

$$\begin{array}{rlll} \frac{3}{2}:&\vert 11\rangle\vert 1/2,1/2\rangle \\ \frac{1}{2}:&\vert 10\rangle\vert 1/2,1/2\rangle & \vert 11\rangle\vert 1/2,-1/2\rangle\\ -\frac{1}{2}:&\vert 1,-1\rangle\vert 1/2,1/2\rangle&\vert 10\rangle\vert 1/2,-1/2\rangle\\ -\frac{3}{2}:&\vert 1,-1\rangle \vert 1/2,-1/2\rangle \end{array}\qquad \to \qquad \begin{array}{rlll} \frac{3}{2}:&\bullet \\ \frac{1}{2}:&\bullet & \bullet \\ -\frac{1}{2}:&\bullet &\bullet \\ -\frac{3}{2}:&\bullet \end{array}$$ Es ist nur $2$Spalte breit, und die Breite hört auf zu wachsen $M=1/2$, was auf das Mögliche hinweist $j$in diesem Fall sind $3/2$Und $1/2$, und in der Tat $$\vert 1-1/2\vert \le j\le 1+1/2$$ Beachten Sie schließlich, dass der Absolutwert auf der linken Seite erforderlich ist, da man Zustand schreiben könnte $\vert sm_s\rangle\vert \ell m_\ell\rangle$ohne die möglichen Werte von zu beeinflussen $j$.