Wenn wir sagen, der Elektronenspin ist 1/2, was genau bedeutet das, 1/2 von was?

Question

Wenn wir sagen, der Elektronenspin ist 1/2, was genau bedeutet das, 1/2 von was?

matori82

Wenn wir sagen, das Elektron hat einen Spin von $\frac{1}{2}$ , ist das der Wert des Gesamtspins des Elektrons oder die Projektion auf die z-Achse oder die Spinquantenzahl?

Wenn wir sagen „Elektron hat Spin von $\frac{1}{2}\hbar$ ", ist das der Wert des gesamten Spins oder der Projektion? Manchmal sagen die Leute auch nur "Spin 1/2" ohne $\hbar$ .

Ist die Spinquantenzahl $s$ analog zum l (Gesamtbahndrehimpuls) oder zum $m_s$ (Projektion von l).

Ich bin verwirrt, denn wenn ich versuche, die Addition von Winkelmomenten (z. B. in der jj-Kopplung) zu lernen, verwenden wir die Formel:

\vec{J} = \vec{l} + \vec{S}

$\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}$ um den Gesamtdrehimpuls für das Teilchen zu erhalten, und dann summieren wir alles zu:

\vec{J} = \sum \vec{J}

$\vec{J}=\sum \vec{j}$

Was ist der $s$ in diesem Kontext? Ich meine in der Gleichung: $\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}$ da summieren wir es mit $\vec{l}$ dann muss es eine Spin-Projektion auf der z-Achse sein, oder?

Antworten (4)

Wenn wir sagen, der Elektronenspin ist 1/2, was genau bedeutet das, 1/2 von was?

rauben · Answer 1

Wenn wir sagen, dass das Elektron "halben Spin" hat, meinen wir das halbe Drehimpulsquantum, $\hbar$ . Ein guter Quantenmechanik-Text oder eine andere Referenz hilft Ihnen abzuleiten, dass sich der Laplace-Operator in sphärische Koordinaten transformiert

\begin{aligned} \nabla^{2} & = {(\frac{\partial}{\partial X})}^{2} + {(\frac{\partial}{\partial j})}^{2} + {(\frac{\partial}{\partial z})}^{2} \\ = \frac{1}{R^{2}} \frac{\partial}{\partial R} (R^{2} \frac{\partial}{\partial R}) + \frac{1}{R^{2} {Sünde}^{2} θ} {(\frac{\partial}{\partial θ})}^{2} + \frac{1}{R^{2} Sünde ϕ} \frac{\partial}{\partial ϕ} (Sünde ϕ \frac{\partial}{\partial θ}) \end{aligned}

$\begin{align} \nabla^2 &= \left(\frac\partial{\partial x}\right)^2 + \left(\frac\partial{\partial y}\right)^2 + \left(\frac\partial{\partial z}\right)^2 \\ &= \frac 1{r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac\partial{\partial r}\right) + \frac 1{r^2 \sin^2\theta}\left(\frac\partial{\partial\theta}\right)^2 + \frac 1{r^2 \sin\phi}\frac\partial{\partial\phi}\left(\sin\phi\frac\partial{\partial\theta}\right) \end{align}$ Die Winkelanteile dieses Operators wirken auf die sphärischen Harmonischen , um einen Eigenwert zu ergeben

ℓ (ℓ + 1)

$\ell(\ell+1)$ für Ganzzahl

ℓ

$\ell$ . Dies bedeutet, dass die effektive Form des kinetischen Energieoperators ist

\begin{aligned} \frac{ℏ^{2}}{2 M} \nabla^{2} & = \frac{ℏ^{2}}{2 M R^{2}} \frac{\partial}{\partial R} (R^{2} \frac{\partial}{\partial R}) + \frac{ℏ^{2}}{2 M R^{2}} ℓ (ℓ + 1) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 &= \frac{\hbar^2}{2mr^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac\partial{\partial r}\right) + \boxed{\frac{\hbar^2}{2mr^2}{\ell(\ell+1)}} \end{align}$ An der Grenze des Großen

ℓ

$\ell$ , ist der Term im Kasten derselbe wie die kinetische Energie der Umlaufbahn für eine Punktmasse

m

$m$ etwas drehen

r

$r$ aus dem Bewegungszentrum mit Drehimpuls

L \sim ℓ ℏ

$L\sim\ell\hbar$ .

Dieses Argument lässt uns Dinge sagen wie " $\hbar$ ist das Quant des Drehimpulses“ oder „Der Drehimpuls kommt in Klumpen, und die Größe jedes Klumpens ist $\hbar$ ." Seit $\hbar$ das einzige Quant des Drehimpulses ist, zählen wir manchmal nur Quanten und lassen die Einheit weg. Dasselbe, als wenn Ihnen jemand einen Preis nennt und den Wert, aber nicht die Währung angibt ("Ich nehme Ihr Auto für fünfundfünfzig von diesem Abschleppwagen").

Der Spin-Drehimpuls fällt natürlich überraschend elegant aus der Dirac-Frage heraus. Sie erhalten das gleiche Quantum, $\hbar$ . Allerdings beschreibt die Dirac-Gleichung Objekte, deren Eigendrehimpuls ist $\hbar/2$ . Daher die Projektion $m_s$ des Elektronenspins entlang einer beliebigen Achse sein kann $\pm\frac12\hbar$ , aber niemals null.

Ich denke, dies könnte Ihre Suche nach einer Anleitung zu den Regeln für die Summierung von Vektordrehimpulsen verdeutlichen.

Danke für die gründliche Antwort. Zusammenfassend bedeutet der "1/2 Spin" für Elektron, dass das Elektron hat $\pm\frac{1}{2}\hbar$ Spinprojektion entlang der z-Achse, während der "Gesamtspin" für Elektron dann ist $\frac{\sqrt{3}}{4}\hbar$ . Ist das richtig?
Es ist richtig zu sagen, dass der Eigenwert des Gesamtspinoperators $\hat s^2$ Ist $\frac 34\hbar^2$ . Es gibt Leute, die das beobachten $\frac{\sqrt 3}2 > \frac12$ und verwenden Sie diese Beziehung, um zu "erklären", warum der Elektronenspin nicht vollständig entlang einer Achse gerichtet werden kann, aber wie bei vielen dieser einladenden Argumente gibt es einige Feinheiten, vor denen Sie sich hüten müssen. Am besten sagt man es so, wie es die meisten Leute sagen: Das Elektron hat einen Gesamtspin $\hbar/2$ , und hat immer Projektion $\pm\hbar/2$ auf jede Achse, und der Drehimpuls in der Quantenmechanik ist subtil.
Zum Beispiel: zweimal $\sqrt3/2$ ist mehr als 3/2, aber es gibt keine Möglichkeit, zwei Elektronen zu kombinieren, um einen Spin größer als zu erhalten $\hbar$ .
Lieber @rob, zwei Elektronen nehmen Zustände mit der Summe auf $S=1$ (ein Drilling) dessen $S^2=j(j+1)=2\hbar^2$ , So $|\vec S|$ ist gleich $\sqrt{2}\hbar$ , was deiner Behauptung widerspricht. Ansonsten sind Ihre Zitate um "erklären" auch unangemessen - die Behauptung kann streng bewiesen werden. Der größere Eigenwert von $S^2$ als $S_z^2$ impliziert, dass der Zustand kein Eigenzustand von sein kann $S_x,S_z$ mit verschwindendem Eigenwert - und weil der Erwartungswert mindestens einer von beiden ist $S_x^2$ oder $S_y^2$ nichtnegativ ist, der andere aufgrund der Unschärferelation ebenfalls nichtnegativ ist $[S_x,S_z]=-i\hbar S_y$ usw.
A $S_z$ Eigenzustand ist einfach ein Eigenzustand von $S_x^2+S_y^2$ mit einem Eigenwert ungleich Null, was bedeutet, dass die "Achse des Winkels des Spins" - was von Verhältnissen abhängt $S_x/S_z$ etc. - kann einfach nicht sein $\theta=0$ . Für Spin-1/2 sind alle Werte der 2-Komponenten-(Spinor-)Wellenfunktion äquivalent, also der Beweis für $S_z=\hbar/2$ reicht. Angesichts der üblichen Formel für $\theta$ , man kann diesen von Null verschiedenen Wert wirklich berechnen $\theta$ . Wir haben $\tan^2\theta=2$ so ist es immer $\theta=arctan(2)$ von jeder Achse entfernt. Es gibt keine einzige klassische Achse mit diesem Winkel von "irgendeiner Achse"; es ist kein Widerspruch
@LubošMotl Deine Aussagen sind wahr und richtig und genau die Erklärung, die ich im Sinn hatte. Ich meinte, dass es keine Möglichkeit gibt, zwei Drehungen zu kombinieren $hbar/2$ um mit einem Spin größer als zu enden $3\hbar/2$ , was unumstritten sein sollte (und korrekt, da $\sqrt2<3/2$ ). Die Subtilität ist zu komplex, als dass ich sie in dieses Kommentarfeld einfügen könnte.

geniert · Answer 2

Gegeben sei ein Drehimpulsoperator mit Komponenten $S_1, S_2, S_3$ und Vertauschungsbeziehungen $[S_i, S_j] = \sum_k \epsilon_{ijk}S_k$ , Wo $\epsilon_{ijk}$ sind Strukturkonstanten der $\mathfrak{su}(2)$ Algebra, der Casimir-Operator $S^2 = S_1^2+S_2^2+S_3^2$ kann gleichzeitig mit allen Originalkomponenten diagonalisiert werden $S_j$ auf ihre Eigenzustände $|\psi\rangle$ . Weiterhin gilt Folgendes:

S^{2} | ψ ⟩ = ℏ^{2} S (S + 1) | ψ ⟩ S_{J} | ψ ⟩ = ℏ M_{J} | ψ ⟩ .

$S^2|\psi\rangle = \hbar^2 s(s+1)|\psi\rangle \qquad S_j|\psi\rangle = \hbar m_j|\psi\rangle.$ Der Wert

s

$s$ soll der Spin des Staates sein,

m_{j}

$m_j$ ist seine Projektion auf die

j

$j$ -Richtung. Entsprechend den Strukturkonstanten und den Lie-Algebren schließen die Drehimpulsoperatoren unterschiedliche Werte ein

s

$s$ sind erlaubt. Im Fall von Elektronen haben wir

s = 1 / 2

$s=1/2$ .

Bill N · Answer 3

Um es einfach zu erklären, ohne in die Details von Rotationssymmetriegruppen usw. einzusteigen: Wenn man sagt $s=1/2$ , oder $m_s=1/2$ oder $m_s=-1/2$ geben wir eine Quantenzahl an, die beschreibt, wie sich die Eigenwerte von Spinoperatoren verhalten.

Geben wir ein Eigenket der Spindrehimpulsoperatoren an $|s,m_s\rangle = |1/2, \pm 1/2\rangle$ , mit Operatoren $\hat{s^2}$ Und $\hat{s_z}$ Dann

\hat{S^{2}} | 1 / 2, \pm 1 / 2 ⟩ = \frac{3}{4} ℏ^{2} | 1 / 2, \pm 1 / 2 ⟩ \hat{S_{z}} | 1 / 2, \pm 1 / 2 ⟩ = \pm \frac{1}{2} ℏ | 1 / 2, \pm 1 / 2 ⟩

$\hat{s^2} |1/2, \pm 1/2\rangle = \frac{3}{4} \hbar^2~ |1/2, \pm 1/2\rangle \\ \hat{s_z} |1/2, \pm 1/2\rangle = \pm\frac{1}{2} \hbar~ |1/2, \pm 1/2\rangle$

Wenn man quantisierte Drehimpulse kombiniert, gibt es Regeln aus den Symmetriegruppen, die uns helfen, die erlaubten Quantenzahlen zu bestimmen. Die erlaubten Quantenzahlen folgen einer Dreiecksregel. Angenommen, wir wollen die zulässigen Quantenzahlen für einen Zustand finden, der sich aus der Kombination zweier Drehimpulse ergibt $|\ell_1, m_{\ell 1}\rangle$ Und $|\ell_2, m_{\ell 2}\rangle$ :

ℓ_{1} + ℓ_{2} \geq ℓ_{N e w} \geq | ℓ_{1} - ℓ_{2} |

$\ell_1 +\ell_2 \ge \ell_{new} \ge |\ell_1 - \ell_2|$ mit ganzzahligen Schritten zwischen dem Minimum und Maximum und der Quantenzahl der z-Komponente summieren sich lediglich:

M_{ℓ N e w} = M_{ℓ 1} + M_{ℓ 2}

$m_{\ell \mathrm{new}}=m_{\ell 1}+m_{\ell 2}$ .

Wo $\ell$ stellt jede Art von Drehimpulsquantenzahl dar (Spin, Orbital, Spin-Orbit-Kombination usw.).

David Johnson · Answer 4

Die Erklärung ist sehr einfach. Basierend auf dem Stern-Gerlach-Experiment bedeutet ein Spin von 1/2 einfach, dass, wenn Sie Elektronen durch seinen Apparat schießen, ... 1/2 der Elektronen sich nach oben drehen und die andere 1/2 sich nach unten drehen wird

Willkommen beim Stapelaustausch. Deine Antwort ist natürlich richtig. In Anbetracht dessen, dass die Frage ziemlich alt ist, möchte ich jedoch, dass Sie nur Antworten posten, die eine wesentliche Idee beitragen. Ich verstehe jedoch nicht, warum andere die Antwort ablehnen, ohne einen Kommentar zu hinterlassen
Eigentlich ist das zweideutig. Wenn das Teilchen Spin-1 wäre, würde 1/1 der Teilchen nach oben und 1/1 nach unten gehen? Natürlich nicht!

Wenn wir sagen, der Elektronenspin ist 1/2, was genau bedeutet das, 1/2 von was?

matori82

Antworten (4)

rauben

matori82

rauben

rauben

Lubos Motl

Lubos Motl

rauben

geniert

Bill N

David Johnson

Semioi

ZeroTheHero

Warum werden Zwei-Elektronen-Systeme normalerweise auf Singulett-Triplett-Basis beschrieben?

Was ist die vorherrschende Meinung in der wissenschaftlichen Gemeinschaft über Hans C. Ohanians Beschreibung des Spins?

Quantenmechanischer Drehimpuls und Spin-Formalismus/Notation

Matrixdarstellung Drehimpuls

Wie ist die Parität für die Bestimmung des Drehimpulses relevant?

Warum dreht sich das Elektron mit einer bestimmten Neigung?

Wie interpretiert man Spin-Observablen, die durch nicht standardmäßige Phasenwahlen konstruiert wurden?

Wie unterscheiden sich LS- und JJ-Kopplung, wenn beide nur eine Vektoraddition beinhalten?

Spin, Bahndrehimpuls und Gesamtdrehimpuls

Problem beim Zählen von Spin-Zuständen