Wie unterscheiden sich LS- und JJ-Kopplung, wenn beide nur eine Vektoraddition beinhalten?

Die Addition von Drehimpulsen ist assoziativ in dem Sinne, dass die Operatoren selbst als Operatoren gleich sind, also die Operatoren

$$\mathbf J = (\mathbf L_1 + \mathbf L_2) + (\mathbf S_1+\mathbf S_2) = (\mathbf L_1+\mathbf S_1)+(\mathbf L_2+\mathbf S_2)$$ sind gleich. Wenn wir jedoch von der Addition von Drehimpulsen in der Quantenmechanik sprechen, meinen wir wesentlich mehr als das; genauer gesagt beziehen wir uns auf einen Rediagonalisierungsprozess, um die Eigenzustände des Gesamtdrehimpulsoperators zu finden, und dies ist keine assoziative Operation.

Am Ende haben sowohl das LS- als auch das JJ-Kopplungsschema das gleiche Endziel: eine Eigenbasis für zu erhalten$J^2$Und$J_z$(und auch von$L_1^2$,$L_2^2$,$S_1^2$Und$S_2^2$), aber sie erreichen noch mehr:

• Die LS-Kopplung erzeugt eine gemeinsame Eigenbasis von$J^2$Und$J_z$was auch eine Eigenbasis von ist$L^2$Und$S^2$.
• Die JJ-Kopplung erzeugt eine gemeinsame Eigenbasis von$J^2$Und$J_z$was auch eine Eigenbasis von ist$J_1^2$Und$J_2^2$.

Der Grund, warum dies möglich ist, ist folgender$J^2$Und$J_z$pendeln mit allen$L^2$,$S^2$,$J_1^2$Und$J_2^2$. Sie sind jedoch nicht beide gleichzeitig möglich, da keines von beidem möglich ist$L^2$oder$S^2$pendelt mit einem von beiden$J_1^2$Und$J_2^2$.

Um dies explizit zu sehen, erweitern Sie zuerst den Kommutator:

$$\begin{align} [L^2,J_1^2] & = \left[ (\mathbf L_1 + \mathbf L_2)^2 , (\mathbf L_1 + \mathbf S_1)^2 \right] \\ & = \left[ L_1^2 + L_2^2 + 2\mathbf L_1 \cdot\mathbf L_2, L_1^2 + S_1^2 + 2\mathbf L_1 \cdot\mathbf S_1 \right] \\ & = 4 \left[ \mathbf L_1 \cdot\mathbf L_2, \mathbf L_1 \cdot\mathbf S_1 \right] \\ & = 4 \sum_{k,n} \left[ L_{1,k} L_{2,k}, L_{1,n} S_{1,n} \right] \\ & = 4 \sum_{k,n} \left[ L_{1,k}, L_{1,n} \right]L_{2,k} S_{1,n} , \end{align}$$ und hier ist der Haken: Jedes dieser Quadrate enthält eine Reihe von Termen, die in den Komponenten von linear sind $\mathbf L_1$auf beiden Seiten des Kommutators, und diese stapeln sich zu einem einzigen Kommutator der Komponenten von $\mathbf L_1$mit allen anderen Komponenten von $\mathbf L_1$, und dieser Kommutator ist nicht Null.

(Wenn Sie wirklich neugierig sind, wertet der Vollkommutator aus$[L^2,J_1^2] = 4 (\mathbf L_2 \times \mathbf S_1) \cdot \mathbf L_1$.)

Also, was ist in dieser Situation zu tun? Wenn Sie vier Drehimpulse als addieren

$$\mathbf J = \mathbf L_1 + \mathbf L_2 + \mathbf S_1+\mathbf S_2,$$ Was Sie idealerweise wollen, ist eine gemeinsame Eigenbasis von

• der Gesamtdrehimpuls$J^2$und eine seiner Komponenten,$J_z$,
• alle (Quadrate der) einzelnen Drehimpulse,$L_1^2$,$L_2^2$,$S_1^2$Und$S_2^2$, ebenso gut wie
• alle (Quadrate der) Zwischenkombinationen, wie$L^2$,$S^2$,$J_1^2$Und$J_2^2$, sowie die Zwischenkopplungsoperatoren wie$(\mathbf L+\mathbf S_1)^2$und seinesgleichen.

Die ersten beiden Ziele sind durchaus erreichbar, aber da die Operatoren im dritten Aufzählungspunkt nicht alle miteinander kommutieren, müssen wir eine endliche Teilmenge solcher Operatoren auswählen, mit denen wir kodiagonalisieren$J^2$Und$J_z$. Dies ist die Wahl, die in die Dichotomie zwischen den LS- und JJ-Kopplungen eingebettet ist.

Die Reihenfolge, in der Sie Winkel koppeln, vereinfacht die Auswertung von Matrixelementen einiger Hamilton-Operatoren. So zum Beispiel beim Aufbau von Zuständen mit gutem Gesamtdrehimpuls$L$, ist es naheliegend, die einzelnen Drehimpulse miteinander zu koppeln$\ell_1,\ell_2\ldots$. Andererseits, um einen Spin-Bahn-Term zu berechnen$\vec \ell\cdot \vec s$, ist es am einfachsten, mit guten Einzelteilchenzuständen zu arbeiten$j$.

Die Kopplung von Drehimpulsen ist nicht gerade eine Vektoraddition . Es handelt sich um algebraische Clebsch-Gordan-Koeffizienten und Summen über Zwischenzustände. So zum Beispiel bei der Kopplung zwei$s=1/2$Spins, die Zustände$s=1,m=0$Und$s=0,m=0$sind bzw

$$\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}\vert \textstyle\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle \vert\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\rangle \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle\vert\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle$$ Es reicht nicht aus, die Projektionen einfach zu „addieren“. $m_1+m_2$da die korrekten Zustände Summen über einzelne Teilchenzustände beinhalten. In allgemeineren Fällen mit say $\ell_1$Und $\ell_2$, sind die Koeffizienten vor den Produkten nicht gleich und haben normalerweise unterschiedliche Vorzeichen.

Bei drei oder mehr Teilchen wird die Situation sogar noch komplexer, da es mehrere Werte eines gegebenen Gesamtdrehimpulses oder -spins geben kann. Bei drei Spin-$1/2$Teilchen zum Beispiel sind die möglichen Gesamtspins$3/2, 1/2$Und$1/2$nochmal. Die Regeln zum Kombinieren von Zuständen und Sicherstellen, dass sie orthogonal sind, sind unter Verwendung des einfachen Vektormodells schwer zu handhaben und erfordern die Verwendung von Clebsch-Gordan- und Racah-Koeffizienten.