Problem beim Zählen von Spin-Zuständen

Ah, das ist eine sehr subtile Sache, und es stimmt, dass es zuerst für vier Elektronen auftritt.

Erstens, hier ist eine einfache Möglichkeit zu sagen, wie viele Zustände Sie erwarten sollten: Verwenden Sie einfach die "Spin-Basis des einzelnen Elektrons". Bei vier Elektronen könnte jedes von ihnen einen Up- oder Down-Spin haben, also erwarten wir insgesamt$2^4 = 16$Zustände.

Wo vermissen Sie also die Staaten? Nun, es gibt mehr als einen Spin-0-Zustand, zum Beispiel: Sie können einen Spin-0-Zustand erhalten, wenn Sie jeweils zwei Elektronen zu einem Spin-0-Singulett kombinieren und dann diese beiden Spin-0-Zustände zu einem Gesamt-Spin-0-Zustand kombinieren.

Man kann aber auch jeweils zwei Elektronen in einen Spin-1-Zustand zusammenfassen, und dann wissen wir aus den Regeln der Drehimpulsaddition, dass der Gesamtdrehimpuls zweier Spin-1-Systeme sein kann$0$,$1$oder$2$, Sie erhalten also einen zweiten Spin-0-Zustand, indem Sie die Spin-1-Zustände auf eine bestimmte Weise kombinieren.

Hier also die Buchführung:

Wir erhalten zwei Spin-0-Zustände.

Wir erhalten 9 Spin-1-Zustände (3 Möglichkeiten, einen Spin-1-Zustand zu erhalten: Entweder das erste Elektronenpaar hat Spin 1 und das zweite Spin 0, oder das erste Paar hat Spin 0 und das zweite hat Spin 0, oder beide haben Spin 1 ).

Wir erhalten 5 Spin-2-Zustände.

5 + 9 + 2 = 16.

Lagerbaer hat die Frage von OP bereits beantwortet$n=4$unterscheidbare Spinndubletts. Allgemeiner ausgedrückt ist die Anzahl der Spinmultipletts von$n$Unterscheidbare Spindublets können aus wiederholten Anwendungen der abgeleitet werden$SU(2)$Clebsch-Gordan- Fusionsregel

$$\underline{\large\bf 2} \otimes \underline{\large\bf n}~=~ \left\{ \begin{array}{lcl} \underline{\large\bf n+1}~\oplus~\underline{\large\bf n-1} &\text{for}& n\geq 2, \\ \underline{\large\bf n+1}&\text{for}& n=1, \end{array} \right.$$

und das Distributivgesetz für$\otimes$Und$\oplus$. Explizit lauten die ersten paar Tensorpotenzen

$$\underline{\large\bf 2}^{\otimes 1} ~=~\underline{\large\bf 2},$$ $$\underline{\large\bf 2}^{\otimes 2} ~=~\underline{\large\bf 3}~\oplus~\underline{\large\bf 1} ,$$ $$\underline{\large\bf 2}^{\otimes 3} ~=~\underline{\large\bf 4}~\oplus~2~\underline{\large\bf 2} ,$$ $$\underline{\large\bf 2}^{\otimes 4} ~=~\underline{\large\bf 5}~\oplus~3~\underline{\large\bf 3} ~\oplus~2~\underline{\large\bf 1} ,$$ $$\underline{\large\bf 2}^{\otimes 5} ~=~\underline{\large\bf 6}~\oplus~4~\underline{\large\bf 4} ~\oplus~5~\underline{\large\bf 2} ,$$ $$\underline{\large\bf 2}^{\otimes 6} ~=~\underline{\large\bf 7}~\oplus~5~\underline{\large\bf 5} ~\oplus~9~\underline{\large\bf 3}~\oplus~5~\underline{\large\bf 1} ,$$ $$\vdots$$

Hier die irreps$\underline{\large\bf 1}$,$\underline{\large\bf 2}$,$\underline{\large\bf 3}$,$\ldots$, bezeichnen Singulett, Dublett, Triplett,$\ldots$, dh drehen$0$,$\frac{1}{2}$,$1$,$\ldots$, bzw. Das obige Muster ähnelt dem Pascalschen Dreieck . Offensichtlich ist die allgemeine Formel von der Form

$$\underline{\large\bf 2}^{\otimes n}~=~\bigoplus_{k=0}^{[\frac{n}{2}]} m_{n,k} ~\underline{\large\bf n+1-2k}, \qquad n\in \mathbb{N}.$$

Hier die Vielheiten$m_{n,k}\in \mathbb{N}_{0}$erfüllen

$$m_{n,k}~=~0 \quad\text{for}\quad k> [\frac{n}{2}],$$

$$m_{n,0}~=~1,$$

Und

$$m_{n,k-1}+ m_{n,k}~=~m_{n+1,k}\quad\text{for}\quad k \geq 1.$$

Eine geschlossene Formel für die Vielfachheiten lautet (hattip:Trimok)

$$m_{n,k}~=~ \frac{n!~(n + 1 - 2k)}{k!~ (n + 1 - k)!}.$$

Für vier, sagen wir, Elektronen haben wir 16 ($=2^4$) mögliche Zustände. 1 mit Spin +2 und 1 mit Spin -2, 4 mit Spin +1 und 4 mit Spin -1 und zuletzt 6 mit Spin 0, also insgesamt 16 (die 1,4,6,4,1 entsprechen Reihen 4 des Pascal-Dreiecks). Siehe diese Frage für die Zustände von n Elektronen.

Beispielsweise erhalten wir für drei Elektronen den Zustand (die Hilfe des Pascal-Dreiecks zahlt sich offensichtlich bei einer großen Anzahl von Elektronen aus):

$$\frac 1 {\sqrt{8}}(+|\uparrow\uparrow\uparrow\rangle+|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle+|\uparrow\downarrow\uparrow\rangle+|\downarrow\uparrow\uparrow\rangle-|\uparrow\downarrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\downarrow\uparrow\rangle-|\downarrow\downarrow\downarrow\rangle)$$

Diese Gesamtwellenfunktion ist normalisiert und antisymmetrisch, wenn wir die Kets mit entgegengesetzten Pfeilen vertauschen.