Welche physikalische Bedeutung haben die Kommutierungsbeziehungen des Drehimpulses?

Kurze Einführung in Leitern

Wie Sie sagen, sie sind Leiteroperatoren. Lassen Sie uns das Ärgerliche loswerden$\hbar$indem Sie es auf eins setzen, und rufen Sie sie systematischer auf$L_{-1},L_0,L_1$anstatt$L_-,L_z,L_+$.

Dann nehmen die Vertauschungsbeziehungen die einheitliche Form an

$$[L_n,L_m] = (n-m)L_{m+n}$$

Wenn wir davon abzählbar viele hätten, hätten wir eine Witt-Algebra , wenn es eine zentrale Ladung gäbe, wäre das eine Virasoro-Algebra , aber bleiben wir erstmal bei diesen dreien.

Nun, Leiterbediener sollten Dinge heben und senken , genau wie das Auf- und Absteigen einer Leiter. Alles beginnt mit Eigenvektoren$\lvert l \rangle$von$L_0$, dh$L_0\lvert l \rangle = l \lvert l \rangle$. Nun, durch die Vertauschungsrelationen bekommen wir das

$$L_0(L_{-1})\lvert l \rangle = (l-1)(L_{-1})\lvert l \rangle \; \text{and} \; L_0(L_{1})\lvert l \rangle = (l+1)(L_{1})\lvert l \rangle$$

So$L_{1}$ erhöht das Gewicht $l$des Vektors durch$1$, während$L_{-1}$ senkt das Gewicht des Vektors um$1$.

Die physikalische Bedeutung

Wann immer Sie eine solche Algebra sehen, bedeutet dies, dass der Eigenwert von$L_0$ist quantisiert , da die Leiteroperatoren das Gewicht in diskreten Schritten anheben/absenken. Dies bedeutet, dass in Bezug auf die natürlichen Operationen auf dem Vektorraum, auf dem eine Darstellung dieser Algebra existiert, Räume von Eigenvektoren von aufgespannt werden$L_0$während sie sich nicht durch natürliche Zahlen unterscheiden, überlappen sich nicht . Insbesondere wenn Sie wissen , dass es einen höchsten/niedrigsten Gewichtungszustand geben sollte, aus dem alle anderen durch Anwendung der Leiteroperatoren hervorgehen, kennen Sie den vollständigen diskreten Satz von Eigenwerten$L_0$erlaubt für das betrachtete System, und wir können tatsächlich alle erlaubten Darstellungen finden .

Die Algebra, die wir betrachten, ist tatsächlich$\mathfrak{su}(2)$, die Lie in die Universalabdeckung integriert$\mathrm{SU}(2)$der Rotationsgruppe$\mathrm{SO}(3)$, was wir also konstruieren, sind die Spinordarstellungen der nicht-relativistischen QM.

Die Technik mit dem höchsten Gewicht

Wir suchen einheitliche, irreduzible Darstellungen$V$der Algebra. Einheitlichkeit bedeutet das$L_n^\dagger = L_{-n}$, Irreduzibilität, dass es keine Unterrepräsentation gibt$W \subset V$.

Lassen$\lvert l \rangle$sei ein Vektor mit dem höchsten Gewicht, dh$L_{1}\lvert l \rangle = 0$. Definieren Sie das Verma-Modul (versuchen Sie nicht, die Definition des Mathematikers zu verstehen, wenn Sie nicht auf ernsthafte Mathematik vorbereitet sind)

$$\tilde{V}_l := \mathrm{span}\{L_{-1}^n\lvert l \rangle \vert n \in \mathbb{N}\}$$

Die Unitarität verlangt ferner, dass der Repräsentant, den wir erhalten möchten, ein positiv-definitives inneres Produkt besitzen sollte. Normalisieren$\langle l \vert l \rangle$und untersuche die Vektoren der Ebene 1 $L_{-1}\lvert l \rangle$:

$$\langle l \rvert L_1 L_{-1} \lvert l \rangle = 2l \overset{!}{\ge} 0$$

So,$l < 0$ist aus dem Spiel. Wenn$l = 0$, Dann$L_1(L_{-1}\lvert l \rangle) = 2l\lvert l \rangle = 0$, So$L_{-1}\lvert l \rangle$ist ein zweithöchster Gewichtsvektor und erzeugt die Unterrep$\tilde{V}_{-1} \subset \tilde{V}_0$. Wir können eine irreduzible, einheitliche Wiederholung durch Einstellung erhalten

$$V_0 := \tilde{V}_{0} / \tilde{V}_{-1}$$

das ist der triviale Spin-$0$rep.

Eine Verallgemeinerung des obigen Arguments führt uns zu der Aussage, dass Vektoren der Ebene n $\lvert v \rangle = L_{-1}^n\lvert l \rangle$Norm haben

$$\langle v \vert v \rangle = \prod_{i = 0}^{n-1} (2l - i)$$

was für nicht unitär ist$l \not \in \frac{1}{2}\mathbb{N}$und hat ansonsten Nullvektoren. Die irreduziblen einheitlichen Wiederholungen werden im Allgemeinen durch erhalten

$$V_l := \tilde{V}_{l}/\tilde{V}_{-l-1} \; \text{with} \; l \in \frac{1}{2}\mathbb{N}$$

Der Abschluss

Es waren allein die Kommutierungsbeziehungen (zusammen mit gewöhnlichen Unitaritätsbedingungen), die uns gezeigt haben, dass Spin/Drehimpuls auf halbe ganze Zahlen und ganze Zahlen beschränkt ist. Man kann durch weiteres Nachdenken sehen, dass die halbzahligen Wiederholungen keine Wiederholungen von induzieren$\mathrm{SO}(3)$, aber nur von der$\mathrm{SU}(2)$, und dass daher der "wahre" Drehimpuls ganzzahlig quantisiert wird. Die Quantisierung solcher verallgemeinerter Ladungen (im noetherschen Sinne) ist also eine natürliche Folge der Vertauschungsrelation der Algebra der zugehörigen (Lie-)Symmetriegruppe.