Welche Bedeutung hat der Unterschied zwischen den Quantenzahlen ℓℓ\ell und mℓmℓm_{\ell}?

Der Wert$m_{l}$ist der Eigenwert des Operators$L_{z}$bestimmt, indem man die Wirkung dieses Operators auf den Eigenzustand sieht$|~l,m_{l}>$oder mit anderen Worten

$$L_{z} |~l,m_{l}> = m_{l} |~l,m_{l}>$$ Während $l$hängt mit dem Gesamtdrehimpulsoperator zusammen $L$und es wirkt auf den gleichen Eigenzustand, der Sie gibt $$L^2 |~l,m_{l}> = l(l+1) |~l,m_{l}>$$ Die Beziehungen zwischen den beiden Operatoren sind gegeben durch $$L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 ~~~~\mbox{and}~~~~ \vec{L} = (L_x, L_y, L_z)$$ Die Eigenwerte sind auch verwandt und die Beziehung, die Sie in fast jedem Lehrbuch über Quantenmechanik finden können, ist $$- l \leq m_l \leq l ~~~~\mbox{all of them interspaced by unity}$$

Die Vorstellung, dass sich das Elektron um den Atomkern bewegt, ist eine Vereinfachung.

Das Elektron ist nicht lokalisiert, alle Informationen, die Sie über seine Position haben können, werden in einer probabilistischen Form ausgedrückt: die Wahrscheinlichkeit, das Elektron an der Position zu finden$(r,\theta,\phi)$wird von gegeben$|<r,\theta,\phi~|~\psi>|^2$unter der Annahme, dass die Wellenfunktion$|~\psi>$ist normalisiert.

Im Fall des Wasserstoffatoms haben wir$|~\psi> \propto|~l,m_{l}>$oder in der Koordinatenrappräsentation

$$(<r,\theta,\phi~|~\psi>= \psi(r,\theta,\phi) ) \propto (<r,\theta,\phi~|~l,m_{l}>= Y_l^m(\theta,\phi))$$ Was Sie auf der linken Seite dieser Gleichung sehen können, ist nichts anderes als die Quadratwurzel der
Wahrscheinlichkeit, die ich oben angegeben habe, und dies sagt Ihnen, dass die Wahrscheinlichkeit von den Kugelflächenfunktionen abhängt $Y_l^m(\theta,\phi)$was auch davon abhängt $m_l$Wert.

Das kann man sich also vorstellen$m_l$gibt Ihnen die Form der sphärischen Harmonischen an, die Ihnen die Wahrscheinlichkeit gibt, das Elektron irgendwann im Raum zu finden. Das ist die beste Umlaufbahn, die Sie bekommen können.

Der Betreiber$J$ist der Gesamtdrehimpuls, der ausgedrückt wird als$J = L + S$und das ist nur eine Definition, die von der Tatsache herrührt, dass Teilchen auch einen Drehimpuls haben. Das Verhältnis der Eigenwerte von$J$(die sind eben$j$) mit$l$Und$s$hat eine ziemlich lange Herleitung, die Sie zum Beispiel in dem Buch Quantum Mechanics von Auletta Fortunato Parisi finden können. Jedenfalls ist das Verhältnis

$$|l - s| \leq j \leq |l+s|$$ alle von ihnen durch Einheit beabstandet.