Clebsch-Gordan-Koeffizienten notwendige und hinreichende Bedingung, um nicht Null zu sein

Ich weiß, dass der Clebsch-Gordan-Koeffizient ,

⟨ J 1 , M 1 , J 2 , M 2 | J , M ⟩ ,
ist Null, wenn die folgenden Bedingungen nicht erfüllt sind:
| J 1 − J 2 | ≤ J ≤ J 1 + J 2 ,
M 1 + M 2 = M ,
| M | ≤ J .
Meine Frage ist, ob es möglich ist, dass ein Clebsch-Gordan-Koeffizient diese Bedingungen erfüllt, aber immer noch Null ist? Dh sind diese erfüllten Bedingungen eine notwendige und hinreichende Bedingung für einen Clebsch-Gordan-Koeffizienten ungleich Null oder nur eine notwendige? und lässt sich das so oder so beweisen?

Antworten (3)

Ein Clebsch-Gordan-Koeffizient kann null sein, selbst wenn diese Bedingungen erfüllt sind. Zum Beispiel* unter Verwendung der Notationen | J , M ⟩ Und | J 1 , M 1 , J 2 , M 2 ⟩ :

| 2 , 0 ⟩ = 1 2 | 2 , + 1 , 1 , − 1 ⟩ − 1 2 | 2 , − 1 , 1 , + 1 ⟩ ,
damit es keine Projektion auf dem gibt M 1 = M 2 = 0 Zustand:
⟨ J , M | J 1 , M 1 , J 2 , M 2 ⟩ = ⟨ 2 , 0 | 2 , 0 , 1 , 0 ⟩ = 0 .

*Ich habe im Wesentlichen nach einem Nulleintrag in Tabelle 4.7 von David J. Griffiths' Introduction to Quantum Mechanics, 2. Auflage, gesucht.

Das oben angegebene Beispiel des Clebsch-Gordan ⟨ 2 , 0 | 2 , 0 , 1 , 0 ⟩ ist keine zufällige oder nicht-triviale Null! Sie ergibt sich aus den bekannten Auswahlregeln. Es entspricht dem 3- J Fall (Mathematica-Notation)

ThreeJSymbol[{2, 0}, {1, 0}, {2, 0}]

und ist Null, weil die Summe der Top 3 drei J 's, dh 2 + 1 + 2 , ist nicht einmal erforderlich (siehe Formel zur Bewertung von ThreeJSymbol[{j1, 0}, {j2, 0}, {j3, 0}]in jedem Buch über 3- J Symbole).

Ein echtes Beispiel für eine zufällige Null ist der Fall

ThreeJSymbol[{3, 2}, {3, -2}, {2, 0}] = 0

die gesehen wird, um dem zu gehorchen J 1 + J 2 + J 3 = e v e N ( 3 + 3 + 2 = 8 ) Auswahlregel, ist aber immer noch Null!

Es scheint unendlich viele solche zufälligen Nullen zu geben - siehe Referenz unten, dh Artikel von Heim et al. 1992 .

Das Thema "zufällige" Nullstellen von Clebsh-Gordan-Koeffizienten ist immer noch aktiv. Sehen Sie sich dieses Papier als Beispiel für Bemühungen an, diese nicht-trivialen Nullstellen zu klassifizieren.

Clebsch-Gordan-Koeffizienten notwendige und hinreichende Bedingung, um nicht Null zu sein
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