Gleichzeitig pendelnder Satz

Aus praktischen Gründen bezeichnen Physiker die Zustände des Systems gerne mit einer Reihe von "Quantenzahlen". Technisch bedeutet dies, dass Sie nach einer Menge von sich gegenseitig vertauschenden hermiteschen Operatoren suchen, so dass: (i) Jeder Vektor aus der Basis gemeinsamer Eigenvektoren dieser Operatoren eindeutig durch die Menge der Eigenwerte (dh die oben genannten Quantenzahlen) charakterisiert ist; (ii) Der Satz von Operatoren ist minimal in dem Sinne, dass Sie die Eigenschaft (i) verlieren, wenn Sie einen der Operatoren entfernen. Die erste Bedingung impliziert, dass Ihr Satz von Operatoren vollständig ist, während die zweite, dass es keine Redundanzen gibt. Da man typischerweise die Quantenzahlen verwenden möchte, um die stationären Zustände zu bezeichnen, also die Eigenzustände des Hamiltonoperators,

Nun ist es offensichtlich, dass es für jedes gegebene System und seinen Hilbert-Raum viele Sätze von Operatoren gibt, die die beiden obigen Bedingungen erfüllen. Im Prinzip können Sie mit dem folgenden Algorithmus Ihren eigenen Satz von Operatoren finden. Wählen Sie einen beliebigen (hermiteschen) Operator$A$und ihr Spektrum bestimmen. Wenn keine Entartung vorliegt, sind Sie fertig. Fügen Sie andernfalls einen weiteren Operator hinzu$B$das pendelt mit$A$so dass es ein Paar gemeinsamer Eigenvektoren mit den gleichen Eigenwerten von gibt$A$aber unterschiedliche Eigenwerte von$B$. (Damit verbessern Sie garantiert Ihre „Auflösung“ bei der Angabe der Eigenvektoren um die Menge der Eigenwerte.) Wenn es keine zwei Eigenvektoren gibt, für die beide$A$Und$B$den gleichen Eigenwert haben, fertig. Andernfalls wiederholen Sie den vorherigen Schritt.

Es sollte betont werden, dass der auf diese Weise eingeführte Begriff eines vollständigen Satzes von Pendleroperatoren etwas vage ist. Sie sagt zum Beispiel nicht aus, wie viele Operatoren man braucht, um einen vollständigen Satz in einem gegebenen Hilbert-Raum zu bilden. Tatsächlich ist, wie Willie Wong in seinem Kommentar betont, ein Operator in einem separierbaren Hilbert-Raum im Prinzip ausreichend. Hier ist vielleicht ein etwas weniger abstraktes Beispiel. Sie wissen, dass die Zustände eines Spinsystems charakterisiert werden können, indem gleichzeitig die Werte von angegeben werden$\vec L^2$Und$L_z$. (Ich vernachlässige die orbitalen Freiheitsgrade, damit diese beiden Operatoren ausreichen.) Man kann aber auch den Operator nehmen$\vec L^2+\alpha L_z$Wo$\alpha$eine beliebige irrationale Zahl ist. Sie können sich leicht davon überzeugen, dass der Eigenwert dieses einzelnen Operators ausreicht, um alle Zustände eindeutig zu kennzeichnen$|l,m\rangle$.

Zu Ihrer zweiten Frage verweise ich Sie einfach auf ein beliebiges Lehrbuch der Quantenmechanik. Die Tatsache, dass die Eigenwerte von$\vec L^2$Und$L_z$nimm das Formular$\hbar l(l+1)$(Wo$l$eine nicht negative ganze oder halbe ganze Zahl ist) und$\hbar m$Wo$m\in\{-l,-l+1,\dots,l-1,l\}$, ist nicht nur eine Definitionssache, sondern folgt aus der Vertauschungsrelation für den Drehimpulsoperator,