Spinkommutierungsbeziehungen

Für Bahndrehimpuls definiert als L = R × P wir können in der Quantenmechanik die Kommutierungsbeziehungen beweisen. Außerdem konnten wir diese Beziehungen durch die Untersuchung von Rotationen (infinitesimal) im Raum beweisen. Diese sind:

[ L ich , L J ] = ich ℏ ∑ k ε ich J k L k .

Da es für den Spindrehimpuls keine analoge Definition wie für den Bahndrehimpuls gibt,

  1. Wie können wir die Vertauschungsrelationen beweisen:

    [ S ich , S J ] = ich ℏ ∑ k ε ich J k S k .

  2. Können wir einem Weg folgen, der dem des Bahndrehimpulses ähnlich ist, also der Untersuchung von Drehungen in einem Raum, und wenn ja, in welchem ​​Raum und was würde dieser Raum darstellen?

1. Was meinst du mit "Beweisen" des CR? S ich ? Wie definiert man die S ich wenn nicht genauso genau die Spinoperatoren, die diese Beziehung erfüllen? 2. Nein, der springende Punkt des Spins ist, dass er in klassischen Überlegungen fehlt. (Natürlich sind die Betreiber, die ein Vertreter von sind S Ö ( 3 ) , fungieren immer noch als rotierende Basis eines Hilbert-Raums, aber ich habe das Gefühl, dass Sie das nicht so meinen.
Vielleicht möchten Sie sich über das allgemeine Thema Darstellungstheorie, Lie-Algebren und Lie-Gruppen informieren. Sie befassen sich (unter anderem) damit, eine Reihe von Operatoren zu nehmen, die einer Reihe von Kommutierungsbeziehungen gehorchen, einen abstrakten Vektorraum zu konstruieren, auf dem sie wirken, und sie dann zu "potenzieren" (so wie Sie potenzieren L z um eine Rotation über die zu bekommen z -Achse), um eine Gruppe von Transformationen auf diesem Vektorraum zu bilden. Der Rotationssatz in drei Dimensionen ist nur ein Sonderfall dieses Prozesses.
@ACuriousMind Hallo. Meinen Sie in 1), dass die Definition von Spinoperatoren die Kommutierungsbeziehungen sind? 2) In zwei Fällen ist das ungefähr das, was ich im Sinn hatte.
@MichaelSeifert Hallo. Beweisen wir für den Bahndrehimpuls die Vertauschungsbeziehungen oder nehmen wir sie als Definitionen? In der Klasse haben wir sie bewiesen, und das ist es, was ich dachte. Wenn dies der Fall ist, warum gilt eine solche Methode nach dem Lesen der Antwort von nicht für das Drehen?
Aus Sicht der Lie-Algebren sind die Kommutierungsbeziehungen grundlegend; jeder solche Satz von Operatoren, der diese Beziehungen erfüllt, ist eine Realisierung dieser speziellen Lie-Algebra. Wir können dann eine Reihe von Operatoren nehmen, die auf einen Vektorraum wirken (wie z L z = − ich ℏ ( X ∂ j − j ∂ X ) usw., die auf den Hilbert-Raum der Wellenfunktionen einwirken) und beweisen, dass sie diese Beziehungen erfüllen. Aber aus der Perspektive der Lie-Algebren haben Sie bewiesen, dass diese Operatoren eine bestimmte Instanziierung der Vertauschungsbeziehungen sind, die grundlegend sind.
Und wie werden die Vertauschungsbeziehungen (in der Physik nicht in der Mathematik) grundlegend? Durch experimentelle Beobachtungen?
@MichaelSeifert Irgendwelche Vorschläge zum Lesen solcher Themen (Bücher)? Danke.

Antworten (1)

Sie scheinen verwirrt darüber zu sein, wie Spin in gewöhnliches QM eingeführt wird. Es ist eher ad hoc:

Gegeben sei ein Hilbertraum ohne Spinfreiheitsgrade eines Teilchens H 0 , und die Drehung S des Teilchens nehmen wir den gesamten Zustandsraum des Teilchens an H 0 ⊗ S S , Wo S S ist ein 2 S + 1 -dimensionaler komplexer Hilbert-Raum, der die einzigartige irreduzible Darstellung von trägt S U ( 2 ) beschriftet durch S .

Konstruktionsbedingt gibt es drei antihermitische Generatoren T ich ∈ S u ( 2 ) ≅ S Ö ( 3 ) Einwirken auf S S Erfüllung der Vertauschungsbeziehungen

[ T ich , T J ] = ∑ k ϵ ich J k T k
woraus sich durch Multiplikation mit die üblichen hermiteschen Spinoperatoren ergeben ich .

Für S = 1 , der Raum S 1 ist dreidimensional, und die Aktion der T ich ist nur eine reelle Rotation um die ich -Achse, aber im Allgemeinen die Darstellungen von S U ( 2 ) sind keine Drehungen, obwohl sie es sein können, wann immer die Repräsentationskarte ist S U ( 2 ) → U ( 2 S + 1 ) trifft nur die reellen orthogonalen Matrizen Ö ( 2 S + 1 ) ⊂ U ( 2 S + 1 ) , was für Integer passiert S .

Danke. Darf ich fragen, warum es so eingeführt wird?
@ConstantineBlack: Anfangs, weil wir etwas brauchten, um das Stern-Gerlach-Experiment zu erklären, und das funktioniert (z S = 1 / 2 ). Heutzutage würde man sagen, dass dies darauf zurückzuführen ist, dass QM ein nicht-relativistischer Grenzfall von QFT ist, bei dem sich jedes Feld natürlich in eine Darstellung der (allgemeinen Abdeckung der) Lorentz-Gruppe und der Reste der Lorentz-Gruppe transformieren muss non-rel-Grenze ist S Ö ( 3 ) , und so sollte/könnte sich alles in QM in eine Repräsentation von verwandeln S U ( 2 ) (als universelle Abdeckung der Rotationsgruppe).
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