Wie verwendet man Clebsch-Gordan-Koeffizienten für 3 Teilchen?

Ich habe einen Hamilton-Operator für 3 Teilchen mit Spin 1, auf den ich reduziert habe:

k ( S 2 + ⋯ ) ,
Wo:
S = S 1 + S 2 + S 3 .
Ich habe irgendwo im Internet gelesen , dass die Clebsch-Gordan-Koeffizienten das Ding waren, um den Wert von herauszufinden S 2 , aber ich sehe es nicht. Könnte mir jemand erklären, wie man die Clebsch-Gordan-Koeffizienten für diesen Fall verwendet? - Insbesondere verstehe ich (mehr oder weniger) Clebsch-Gordan-Koeffizienten für die Addition von zwei Drehimpulsen, aber hier habe ich 3 Teilchen. Gibt es ein Äquivalent von Clebsch-Gordan-Koeffizienten für drei Drehimpulse? J 1 , J 2 , J 3 ?

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten helfen Ihnen dabei, die Gesamtbasis |SM> mit der direkten Produktbasis |s1m2>|s2m2>|s2m2> in Beziehung zu setzen.
Due Diligence: Racah-Koeff .

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Mit Clebsch-Gordan-Koeffizienten können Sie n Spins (oder allgemein - beliebige n Teilchen mit beliebigem Drehimpuls) als ein einziges zusammengesetztes System behandeln. Die Koeffizienten sind einfach das Matrixelement der Basistransformation vom getrennten zum zusammengesetzten System.

Für 2 Teilchen mit Gesamtdrehimpuls-Eigenwerten l 1 , l 2 , so dass zum Beispiel M 1 = − l 1 , − l 1 + 1 , . . . , + l 1 Das zusammengesetzte System ist -

( l 1 ) ⊗ ( l 2 ) ∼ ( l 1 + l 2 ) ⊕ . . . ⊕ ( | l 1 − l 2 | )

2 Spinhalbpartikel reduzieren sich auf -

( 1 2 ) ⊗ ( 1 2 ) ∼ ( 1 ) ⊕ ( 0 )

Die linke Größe beschreibt 2 Partikel, jedes hat Spin 1/2, und Sie können die Sany-Systemkonfiguration durch Kombination dieser Spins beschreiben -

| + + ⟩ , | + − ⟩ , | − + ⟩ , | − − ⟩

die rechte Seite beschreibt das System als zusammengesetztes System, das durch seinen Gesamtdrehimpuls und seine Gesamtheit beschrieben werden kann z Komponente -

| S T Ö T = 1 , M S = 1 ⟩ , | S T Ö T = 1 , M S = 0 ⟩ , | S T Ö T = 1 , M S = − 1 ⟩ , | S T Ö T = 0 , M S = 0 ⟩ ,

Wie gesagt, die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind die Elemente der Basistransformationsmatrix, eines davon ist beispielsweise -

⟨ + + | S T Ö T = 1 , M S = 1 ⟩

Der Weg, 3 Spins hinzuzufügen, besteht darin, zuerst 2 der und dann den dritten zum zusammengesetzten System hinzuzufügen -

[ ( 1 2 ) ⊗ ( 1 2 ) ] ⊗ ( 1 2 ) ∼ [ ( 1 ) ⊕ ( 0 ) ] ⊗ ( 1 2 ) ∼ [ ( 1 ) ⊗ ( 1 2 ) ] ⊕ [ ( 0 ) ⊗ ( 1 2 ) ] ∼ ( 3 2 ) ⊕ ( 1 2 ) ⊕ ( 1 2 )

(Beachten Sie die erste Addition. Die spätere ist "bedingt" - wenn S1 + S2 = 1, dann ... wenn S1 + S2 = 0, dann)

also die neue Basis, in der Reihenfolge von | S T Ö T , S 1 + 2 , M T Ö T ⟩ Ist

| 3 2 , 1 , − 3 2 ⟩ , | 3 2 , 1 , − 1 2 ⟩ , | 3 2 , 1 , 1 2 ⟩ , | 3 2 , 1 , 3 2 ⟩ , | 1 2 , 1 , 1 2 ⟩ , | 1 2 , 1 , − 1 2 ⟩ , | 1 2 , 0 , − 1 2 ⟩ , | 1 2 , 0 , 1 2 ⟩

dies reicht für die meisten Anwendungen (Suchen des Energiespektrums und dergleichen)

Danke Alexander! Im Fall von 3 Spins muss ich also die CG-Koeffizienten zweimal verwenden, um 2 Spins hinzuzufügen, und dann erneut, um sie zum dritten Spin hinzuzufügen?
Ja, dies ist die allgemeine Methode, um die Spins/Winkelimpulse einer beliebigen Anzahl von Teilchen zu addieren. Beachten Sie, dass die Koeffizienten nur erforderlich sind, wenn Sie eine explizite Darstellung der neuen Zustände in Bezug auf die alten benötigen. Viele Fragen könnten auch ohne Kenntnis der spezifischen Clebsch-Gordan-Koeffizienten beantwortet werden, aber nur mit den endgültigen Quantenzahlen (die die Konfiguration des Systems bestimmen) (Fragen, die die Kenntnis der Eigenwerte des zusammengesetzten Systems erfordern, z. B. Energiespektrum, aber nicht die Eigenvektoren)
Danke - ja, das ist mir klar, ich kann Energien und Entartungen nur mit der Summenzerlegung erhalten. Sehr gepflegt!

Beachten Sie, dass die Reihenfolge, in der Sie die Kopplungen durchführen, in dem Sinne von Bedeutung ist ( J 1 ⊗ J 2 ) → J 12 gefolgt von J 12 ⊗ J 3 → J , normalerweise geschrieben als ( J 1 J 2 ) J 12 J 3 J , wird nicht die gleichen Basiszustände erzeugen wie die Kopplung J 2 ⊗ J 3 → J 23 zuerst und dann koppeln J 1 ⊗ J 23 → J , oder J 1 ( J 2 J 3 ) J 23 J . Die beiden Sätze von Basiszuständen stehen durch eine einheitliche Transformation in Beziehung, die verwendet wird, um Racah-Koeffizienten als Überlappungen zwischen den beiden Basen zu definieren.

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