Warum betrachten wir die Darstellungen von SO(3)SO(3)SO(3) in QM?

Sie haben bereits mehrere Antworten erhalten. Der grundlegende physikalische Grund ist jedoch elementar: In der klassischen, Quanten- und relativistischen Physik sind die physikalischen Gesetze, die ein isoliertes physikalisches System in einem Trägheitsbezugssystem beschreiben, gleich (sind invariant), wenn Sie rotieren (mit einem Element von$SO(3)$) das System (je nach Theorie gibt es viele andere Symmetrien, aber der Punkt ist, dass Rotationen Symmetrien sind ). Dies ist ein grundlegendes Postulat aller Physik , das zumindest auf kleinen (nicht kosmologischen) Skalen gültig ist. So bleibt zum Beispiel eine Kurve, die die Entwicklung des Systems im Zustandsraum beschreibt, eine Kurve, die eine (andere) Entwicklung des Systems beschreibt, wenn wir die vorherige Kurve zu jedem Zeitpunkt mit der gleichen Rotation drehen. Es gibt viele andere Beispiele. Sie verstehen das, es sei denn, der Zustandsraum ist zum physikalischen Raum isomorph$\mathbb R^3$, die Aktion von$SO(3)$auf die Zustände können nicht direkt mit den Matrizen implementiert werden$R\in SO(3)$. Stattdessen sollten Sie die Elemente aus der Gruppe originalgetreu "repräsentieren".$SO(3)$in Bezug auf natürliche Transformationen des Zustandsraums.

In der Quantenmechanik werden diese natürlichen Transformationen aus vielen theoretischen Gründen (bereits erwähnte Wigner- und Kadison-Theoreme) durch unitäre (und anti-unitäre) Operatoren gegeben, als theoretische Folge der Tatsache, dass die elementarste erwartete Erhaltungseigenschaft dieser Symmetrien das ist von Wahrscheinlichkeitsübergängen zwischen Paaren reiner Zustände. (Eigentlich sollte man projektive Einheitsdarstellungen verwenden, aber ich denke, es ist nicht der Fall, hier auf die Details einzugehen.)

Eine weitere interessante Tatsache von$SO(3)$(Genau genommen$SU(2)$) Darstellungen besteht darin, dass aufgrund der Kompaktheit der Gruppe alle möglichen unitären Darstellungen aus den irreduziblen über das Standardverfahren der direkten Summe konstruiert werden (dies ist keine triviale Tatsache, da man sich normalerweise mit dem viel komplizierteren Werkzeug befassen sollte des direkten Integrals).

Man kann die Einführung von sinnvoll machen$\mathrm{SO}(3)$in die Quantenmechanik wie folgt:

1. Stellen Sie sich ein physikalisches System in drei räumlichen Dimensionen vor, das wir uns als in einer Kiste auf einem Tisch befindend vorstellen, wie ein Tischexperiment.

2. Angenommen, wir bereiten das System auf eine bestimmte Weise vor, so dass gemessen wird, dass sich das System in einem (reinen) Zustand befindet$|\psi\rangle$.

3. Angenommen, wir drehen die Box relativ zu unserem Messgerät. Diese räumliche Drehung wird mathematisch durch ein Element beschrieben$R\in\mathrm{SO}(3)$.

4. Wir fragen uns nun: "Wie wird der Zustand des Systems sein, nachdem es relativ zu unserer Messapparatur gedreht wurde?"

5. Um diese Frage zu beantworten, stellen wir fest, dass wir das System gemäß einer beliebigen Drehung hätten drehen können$R\in\mathrm{SO}(3)$, also suchen wir wirklich nach einer Zuordnung$\alpha:\mathrm{SO}(3)\to\mathscr{F}(\mathcal H)$die jeder Rotation zuweist$R$, eine Funktion$\alpha(R)$die uns sagt, wie ein bestimmter Zustand$|\psi\rangle$ändert sich, wenn das System gedreht wird. Mit anderen Worten,$\alpha(R)(|\psi\rangle)$repräsentiert den Zustand des gedrehten Systems.

6. Als nächstes überlegen wir uns, welche Eigenschaften dieses Mapping haben soll. Erstens fordern wir, dass jede Zuordnung$\alpha(R)$surjektiv sein (genau wie Rotationen selbst) und dass es Übergangswahrscheinlichkeiten bewahrt (da Rotationen des Systems die physikalischen Vorhersagen nicht ändern sollten).

7. Hier kommt dann Wigners Theorem über Symmetrien in der Quantenmechanik ins Spiel. Es sagt uns, dass eine solche Abbildung durch eine unitäre oder antiunitäre Abbildung auf dem Hilbert-Raum bis zur Phase dargestellt wird. Für$\mathrm{SO}(3)$, kann dann gezeigt werden, dass jeweils$\alpha(R)$muss unitär sein, da Drehungen immer als Quadrate geschrieben werden können.

8. Daraus folgt (nach etwas mehr Argumentation), dass die Wirkung von Rotationen auf die Zustände eines quantenmechanischen Systems aus einer projektiven, einheitlichen Darstellung von besteht$\mathrm{SO}(3)$wirkt auf den Hilbert-Raum des Systems. Mehr Infos zu diesem Schritt hier: Idee der Covering Group

9. Daraus fällt natürlich der Drehimpulsoperator, da er als infinitesimaler Erzeuger dieser Darstellung definiert ist.

Die sehr wichtige Gruppe in der Physik ist die Lorentz-Gruppe$SO(3,1)$. Es ist aus dem gebaut$SO(3)$Gruppe und Lorentz-Boosts. Die Algebra der Lorentzgruppengeneratoren (boosts$L_{i}$und 3 Umdrehungen$R_{i}$) hat die Trennung nicht aktiviert$SO(3)$und Boost-Teile. Sondern durch Einführung der „neuen“ Generatoren$J^{i}_{\pm} = \frac{1}{2}(R_{i} \pm iL_{i})$wir können die Lorentz-Gruppe als direktes Produkt von zwei darstellen$SO(3)$oder$SU(2)$Gruppenalgebra (letzteres ist homomorph zu SO(3)). Diese Darstellungen haben Dimension$2j_{\pm} + 1$. Die Summe der Eigenwerte von$J^{3}_{+} + J^{3}_{-}$bezieht sich auf Spin. Der Spin spielt eine sehr wichtige Rolle bei der Klassifizierung von Irrep der Lorentz-Gruppe (und damit bei der Klassifizierung von Ein-Teilchen-Zuständen). Aber natürlich arbeitet die Lorentz-Gruppe eher mit$SU(2)$Wiederholungen, weil sie sowohl Fermionen als auch Bosonen beschreiben können.

Auch die SO(3)-Gruppe spielt als kleine Gruppe für die massiven Zustände der Poincare-Gruppe eine wichtige Rolle. Wie sich folglich zeigen lässt, ergibt das Quadrat eines der Casimir-Operatoren dieser Gruppe (das Quadrat des Pauli-Lubanski-Operators) das Quadrat von$SO(3)$Gruppenoperator.