Die Asymmetrie zwischen Real und Imaginär in den drei Pauli-Spin-Matrizen

Die Pauli-Spinmatrizen

σ 1   =   ( 0 1 1 0 ) , σ 2   =   ( 0 − ich ich 0 ) , σ 3   =   ( 1 0 0 − 1 ) ,

sind mathematisch symmetrisch in dem Sinne, dass (wie ich Und − ich ) können sie universell auf mehrere Arten miteinander ausgetauscht werden, ohne dass sich ein mathematisches Ergebnis ändert. Die visuellen Formen für diese drei Matrizen sind jedoch unerwartet vielfältig (z. B. nur σ 2 Verwendet ich Und − ich ). Mein Verständnis der Geschichte der Physik ist, dass Pauli (und auch Dirac) seine Matrizen durch Versuch und Irrtum entwickelt haben, anstatt eine bestimmte Theorie anzuwenden.

Gibt es eine tiefere theoretische Erklärung dafür, warum diese sehr unterschiedlichen visuellen Darstellungen des Spins dennoch auf vielfältige Weise austauschbar sind?

Antworten (3)

Wie Qmechanic feststellt: Die meisten Berechnungen in der modernen Physik hängen eigentlich nicht von der expliziten Realisierung der Pauli-Matrizen ab . Am Ende hängen die physikalischen Größen von den bilinearen Funktionen wie den Vektor- und Axialströmen ab.

Es ist jedoch durchaus möglich, die Standard-Pauli-Matrix-Darstellung in eine räumlich symmetrische und vollständig reellwertige Darstellung umzuwandeln, die genau die gleiche Physik erzeugt, aber viel einfacher zu interpretieren ist als die komplexe asymmetrische Darstellung.

Diese Darstellung verwendet 4x4 reellwertige Matrizen anstelle von 2x2 komplexen Matrizen und die etwas größere Gruppenstruktur von S Ö ( 4 ) ≅ S P ich N ( 3 ) ⊗ S P ich N ( 3 ) erlaubt uns, die Darstellung in den x-, y- und z-Koordinaten symmetrisch zu machen.

Die 4 komplexen Komponenten des Bispinorfeldes werden zu 8 reellen Werten und die räumliche Symmetrie der Darstellung wird deutlich, wenn wir die linearen Beziehungen zwischen diesen 8 Parametern für jede der verwendeten Matrizen visualisieren, wie in den folgenden Bildern gezeigt. Die roten Zahlen repräsentieren die 4 rechten chiralen Parameter und die schwarzen Zahlen repräsentieren die 4 linken chiralen Parameter.

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Für die genaue Bedeutung von all dem können Sie hier nachsehen:

Die reelle symmetrische Darstellung der Dirac-Gleichung

Kurze Übersichten gibt es hier: Physik-Questseite und hier: Blogbeitrag

Hans, wow, danke!! Ich habe mich kürzlich mit diesem Problem befasst und bin immer noch absolut fasziniert von solchen Notationsasymmetrien, die beispielsweise auftreten, wenn die Dimensionalität des Darstellungsraums zu niedrig wird, um die Symmetrien des ursprünglichen Problems zu erfassen. Diese Situation ist gegeben, wenn man versucht, die Drehachsen darzustellen, während man das 2D-Werkzeug verwendet, das wir Matrizen nennen, aber die Art der Abbildung entzieht sich mir weiterhin (keine große Überraschung, aber ich versuche es gerne weiter!). Ich freue mich darauf, Ihre Antwort in den nächsten Tagen (wahrscheinlich nicht heute Abend) im Detail zu betrachten.
Ich habe dies als Antwort markiert - Entschuldigung @Qmechanic, Ihre Antwort war hilfreich, aber Hans hat genau die Natur meiner Hauptfrage, die von höheren Dimensionen herunterkommt, auf den Punkt gebracht. Ich erkenne sogar einige Kleinigkeiten wieder, mit denen ich mich selbst beschäftigt habe, ziemlich erfolglos, sollte ich bemerken. Nochmals, Hans, danke für die zusätzliche Mühe in diesem Fall. Was Sie gerade getan haben, ist für mich, wo viele Physikkurse zu diesem Thema beginnen sollten , damit diese Mathematik mit der zugrunde liegenden Physik verbunden bleibt und nicht einfach in unerklärliche Zufälle abdriftet, in denen kryptische Notationen sich alle dafür entscheiden, sich gut zu verhalten. Cool!
Noch eins: Ist das veröffentlicht? Ich habe sicherlich nichts dergleichen gefunden, obwohl ich nicht tief genug eingetaucht bin, um sicher zu sein. Wenn es sich um eine Originalarbeit von Ihnen handelt, sollten Sie dies meiner Meinung nach irgendwo einreichen, vorausgesetzt, Sie haben dies noch nicht getan.

Eine Antwort ist, dass die meisten Berechnungen in der modernen Physik eigentlich nicht von der expliziten Realisierung der Pauli-Matrizen abhängen σ A , A = 1 , 2 , 3 , sondern auf die Relationen

σ A †   =   σ A , T R ( σ A )   =   0 , A = 1 , 2 , 3 ,
σ A σ B   =   δ A B 1 2 × 2 + ich ∑ C = 1 3 ε A B C σ C , A , B = 1 , 2 , 3 ,

die die drei Pauli-Matrizen behandeln σ A auf Augenhöhe. Hier 1 2 × 2 ist ein 2 × 2 Einheitsmatrix; δ A B ist das Kronecker-Delta ; Und ε A B C ist das Levi-Civita-Symbol .

Danke schön; das ist recht hilfreich. Ich werde Ihre Antwort genau prüfen, um sicherzustellen, dass ich sie vollständig verstehe. Die Levi-Civita ϵ A B C erinnert mich an eine negierte Version der Gesichtsprodukte im und gegen den Uhrzeigersinn des oktaedrischen Unterraums der ijk -Einheitsachsen von H . Quaternionen scheinen die zugrunde liegenden Symmetrien viel direkter zu erfassen.

Sie können sich auch die geometrische Algebra-Darstellung der Pauli-Spin-Matrizen ansehen, die in dem Artikel „ Imaginary Numbers are not Real – the Geometric Algebra of Spacetime “ von Gull, Lasenby und Doran (S. 8) gegeben wird.

(Dies sollte ein Kommentar zur Antwort sein, aber ich habe keine Wiederholungspunkte)

Sie können auch einige andere gute Links in Norm Cimons Kommentar zu MathOverflow Q22247 verfolgen .

Tom, danke, das ist ein sehr interessant aussehender Artikel, den ich definitiv im Detail lesen werde. Die Autoren scheinen einige Bereiche anzusprechen, die ich hochinteressant finde, auch wenn es keine exakte Übereinstimmung gibt.
Ein mögliches Äquivalent ist die Oersted Medal Lecture von Hestenes
Die Asymmetrie zwischen Real und Imaginär in den drei Pauli-Spin-Matrizen
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