Physikalisch wirkende Gruppen - eine Klärung von Elektronen und Spin

Die Gruppe$SO(3)$ist die physikalische Transformationsgruppe der räumlichen Rotationen. Es ist auch in der größeren Lorentz-Gruppe enthalten, die die Isomorphismus-Gruppe der Raumzeit-Metrik in der speziellen Relativitätstheorie ist. Und Sie transformieren Objekte wie Vektoren$\vec x$wie in

$$\vec x \mapsto \vec x'= R\cdot\vec x,$$

Wo$R\in SO(3)$ist eine Matrix.

In der Quantenmechanik interessieren Sie sich für Erwartungswerte von Observablen wie z

$$\langle X\rangle_\psi:=\frac{\langle\psi|X|\psi\rangle}{\langle \psi|\psi\rangle}.$$ Dieses Objekt ist invariant unter $|\psi\rangle\mapsto c\ |\psi\rangle$, Wo $c$eine komplexe Zahl ungleich Null ist. Der Zustand ist mit bezeichnet $\psi$ist ein ganzer Strahl von Vektoren. Jetzt möchten Sie den Zustand im Hilbert-Raum drehen

$$|\psi\rangle\mapsto T_R |\psi\rangle,$$

Wo$T_R$ist eine der Rotation entsprechende Transformation mit fundamentaler Darstellung$R$. Wenn Sie alles zusammensetzen, sehen Sie, dass Sie, wenn Sie Transformationen (Rotationen, ...) in einem Hilbert-Raum der Quantenmechanik darstellen, diese darstellen müssen ($SO(3),...$) nur bis zu einer Phase . Daher haben Sie jetzt mehr Möglichkeiten. Ihr Faktor$-1$ist so eine Phase.

Sie können das zweite Kapitel von Weinbergs Buch über QFT lesen, um mehr Details zu erfahren. Das Ergebnis ist die Möglichkeit z$SU(2)$Repräsentationen, dh Spinoren. Grob gesagt könnte man sagen, dass man die noch nutzt$SO(3)$-Winkel für Ihre Transformation, da beide drei Parameter haben. Aber wie Sie in Ihrer ersten Frage sagen,$SU(2)$wirkt aktiv auf die beiden Vektorkomponenten des Fermions. Beachten Sie dies, wenn Sie koordinatenabhängige Objekte haben$\psi(\vec x)$, dann das Argument$\vec x$noch konventionell transformiert, während das Feld$\psi$als solches hat ein gewisses Transformationsgesetz.

Natürlich gibt es noch viel mehr Gruppen, die für die Quantenmechanik und andere physikalische Theorien relevant sind (wie Eichgruppen, wie Sie erwähnt haben). Aber zu Ihrer zweiten Frage, was "nur Rotationen" angeht,$SU(2)$ist bereits die universelle Deckungsgruppe . Dies sind die einfach verbundenen Lügengruppen, die oben auf diesen Aufwärtsketten liegen, nach denen ihr sucht.

Als Nebenbemerkung kann diese doppelte Abdeckung auch für andere Abmessungen von einigen durchgeführt werden$S$besondere Gruppen.

Eigentlich die Rotationsgruppe$SO(3)$ wirkt "auf die Physik", auch in Gegenwart von Spin.

Die Sache ist, dass die Wellenfunktion$\psi(\vec x, \sigma)$ist eine redundante Beschreibung eines physikalischen Zustands. Eine Wellenfunktion mit einer anderen Gesamtphase$c\psi(\vec x, \sigma)$beschreibt genau den gleichen physikalischen Zustand. Schließlich sind die einzigen interessierenden Größen nur die Erwartungswerte von Observablen

$$\langle X\rangle_\psi:=\frac{\langle\psi|X|\psi\rangle}{\langle \psi|\psi\rangle}.$$

und diese sind unter einer Rotation unveränderlich$R$

$$\langle X\rangle_{R\psi} = \langle X\rangle_{\psi} .$$

Mathematisch können wir sagen, dass die Wirkung der Rotationsgruppe auf physikalische Zustände eine projektive Darstellung ist , dh sie wirkt auf Linien $\lbrace\lambda\psi(\vec x,\sigma), \lambda\in\mathbb C\rbrace$(eindimensionale Unterräume) in einem Hilbertraum, aber nicht auf den einzelnen Vektoren. Wie Sie jedoch auf der Wikipedia-Seite oben lesen können, ist jede projektive Darstellung einer Lie-Gruppe ähnlich$SO(3)$kann in der Regel aus einer linearen Darstellung seiner universellen Hüllgruppe wie gewonnen werden$SU(2)$. (Lineare Darstellung bedeutet nur, dass die Gruppe auf einzelne Vektoren wirkt.)

Zusammenfassend die Rotationsgruppe$SO(3)$wirkt auch auf die gewöhnliche Quantenmechanik, aber für praktische Berechnungen ist es nützlich, sie darauf zu verallgemeinern$SU(2)$stattdessen.

Es ist sogar etwas haarspalterisch, ob man Wellenfunktionen als physikalisch relevante Größen betrachtet und eine zusätzliche Symmetrie hinzufügt („bis zur Phase“), oder ob man den Quotienten „Wellenfunktion bis zur Phase“ als physikalisch relevante Größen nimmt und arbeitet im Quotientenraum.

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Was die zweite Frage betrifft, denke ich, dass es möglich ist, alle Lie-Gruppen zu klassifizieren$G$mit einem Homomorphismus$G \to SO(3)$über Gruppenkohomologie, aber ich bin mit diesem Thema nicht vertraut genug, um eine Antwort zu geben.