SO(3)SO(3)SO(3), SU(2)SU(2)SU(2) und Symmetrien in der Quantenmechanik [Duplikat]

Es ist nicht so schwer zu sehen, wie eine Drehung letztendlich durch eine Dimensionsmatrix dargestellt werden kann$(2j+1)\times(2j+1)$. Das Schlüsselkonzept ist, dass diese Matrix auf einen Unterraum wirkt$V$des Hilbertraums$\mathcal H$; das ist,$V$enthält Zustandsvektoren (Kets). Allgemein,$V$muss ein invarianter Unterraum in dem Sinne sein, dass wenn$v\in V$, dann unter einer Rotation$v$wird im Allgemeinen zu einem anderen Vektor gehen$v'$aber es bleibt trotzdem drin$V$.

Der einfachste Weg, dies zu sehen, ist ein Beispiel, also lassen Sie mich zeigen, wie das funktioniert$j=2$. Es gibt im Allgemeinen viele mögliche Realisierungen von$V$, aber die sauberste Realisierung ist als Vektorraum von Funktionen$f:\mathbb R^3\to \mathbb C$die homogene Polynome vom Grad 2 sind und die in dem Sinne "spurlos" sind

Um den Effekt einer Drehung zu berechnen$R\in\mathrm{SO}(3)$, nehmen Sie einfach ein Gegebenes$f\in V$zur Funktion$G(R)f\in V$die gegeben ist durch

Für alle gegeben$R$,$G(R)$ist eine geometrische Transformation, aber auf einer einfacheren Ebene auch eine lineare Transformation in einem endlichdimensionalen Vektorraum$V$mit Grundlage$B$, so dass Sie es einfach durch seine Matrix in Bezug auf diese Basis darstellen können. So ist beispielsweise eine Drehung um 90° um die$+x$Achse würde durch die Matrix dargestellt werden

Die anderen haben näher erläutert, wie dies mathematisch funktioniert - die Funktion$G$eine Repräsentation der Gruppe sein$\mathrm{SO}(3)$- aber ich denke, dass Beispiele dieser Art sehr helfen, sich vorzustellen, was vor sich geht.

Die Darstellung der abstrakten Lie-Gruppe $\mathrm{SO}(3)$auf dem gewohnten Platz$\mathbb{R}^3$ist als grundlegende Repräsentation der Gruppe bekannt. In der klassischen Mechanik kommen normalerweise keine anderen Darstellungen vor, weil wir meistens nur haben$\mathbb{R}^{3N}$als Raum der räumlichen Koordinaten für$N$Objekte, auf die die Drehungen wirken. Die Drehungen müssen auf Ihren „Raum klassischer Zustände“ einwirken, aber es ist klar, dass sich gewöhnliche räumliche Koordinaten immer in diese grundlegende Darstellung verwandeln werden.

In der Quantenmechanik müssen Transformationen/Symmetrien wie Rotationen auf dem Zustandsraum der Theorie implementiert (dh dargestellt) werden, der im Wesentlichen der projektive Hilbert-Raum ist , der einem Quantensystem zugeordnet ist, indem der von allen unabhängigen Zuständen aufgespannte Hilbert-Raum genommen und projektiviert wird Es.

Daher muss jeder quantenmechanische Hilbert-Raum eine einheitliche projektive Darstellung von enthalten$\mathrm{SO}(3)$damit wir den Drehimpuls "messen" können, da der Drehimpuls die Drehungen erzeugt - die Operatoren des Drehimpulses liegen in der Lie-Algebra $\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)$, und jede lineare Darstellung der Lie-Algebra induziert eine lineare Darstellung der universellen Abdeckung der Lie-Gruppe, die in Bijektion zu projektiven Darstellungen der von ihr abgedeckten Gruppe(n) stehen.

Um daher alle möglichen projektiven Darstellungen der Rotationen zu finden, suchen wir alle linearen Darstellungen ihrer universellen Hülle, die die (doppelte) Hülle ist$\mathrm{SU}(2)$. Klassifiziert man alle möglichen Darstellungen dieser Art, so findet man (z. B. durch Betrachten von Verma-Modulen), dass alle diese einheitlichen Darstellungen bereits vollständig durch die Angabe des Erwartungswerts des Casimir-Operators beschrieben sind $\vec L^2$, gemeinhin geschrieben$l(l+1), l \in \mathbb{Z} \vee l \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}$, und der zugehörige Repräsentationsraum hat eine Dimension$2l+1$. ¹

Davon nur die mit Integer$l$sind richtige lineare Darstellungen von$\mathrm{SO}(3)$, während die halbzahligen eine "Rotation" durch abbilden$2\pi$zu einer Reflexion, aber da das nur eine Gesamtphase ist, sind sie alle projektive Darstellungen der Drehungen.$l$ist in einer solchen Darstellung auch der Gesamtdrehimpuls eines Zustands.

^{1 Dies sind nur die irreduziblen Darstellungen , aber jede andere Darstellung kann aus ihnen aufgebaut werden. Die allgemein präsentierte Basis für diese Räume sind Eigenvektoren von$L_z$mit Eigenwerten in$\{-l,-l+1,\dots,l-1,l\}$}

$SO(3)$ist 2-zusammenhängend und es stellt sich heraus, dass$SU(2)$ist seine universelle (einfach zusammenhängende) Bedeckungsgruppe. Da gibt es dann einen überlagernden Homomorphismus$\gamma:SU(2)\to SO(3)$, was ein lokaler Isomorphismus ist, kann man dann (als Folge des Satzes von Peter-Weyl) die irreduziblen Darstellungen von betrachten$SU(2)$. Diese können durch die Punkte im Spektrum des Casimir-Operators parametrisiert werden, der allgemein (bis auf Renormierung) mit dem Spin interpretiert wird$j$(Genau genommen$j(j+1)$, aber es macht keinen wirklichen Unterschied, da es möglich ist, sich zu erholen$j$). Es wird dann beobachtet, dass sich Elemente in den Darstellungsräumen nach einigen wohlbekannten Transformationsregeln transformieren: z$j=0$alles bleibt unveränderlich, also Elemente in diesem Vektorraum (trivialerweise$\mathbb C$) verhalten sich wie Skalare . Elemente aus dem Darstellungsraum von$j=1/2$verhalten sich wie Spinoren (sie kommen nach einer Drehung von nicht zu sich selbst zurück$2\pi$aber sie nehmen ein Zeichen). Für$j=1$Sie erholen sich die Matrizen von$SO(3)$, also werden die Elemente als Vektoren interpretiert usw. (vgl. Satz von Wigner-Eckart ).