Ich suche eine qualitativ hochwertige Beschreibung des Wigner-Eckart-Theorems in einfacher Sprache

Diese Frage inspirierte mich zu dem Versuch, eine konzeptionelle Einführung in den Wikipedia-Artikel zu schreiben . Um Ihnen das Klicken zu ersparen, habe ich es unten kopiert. (Es ist leicht inspiriert von dem, was @Kostia hier geschrieben hat )

Motivierendes Beispiel: Operator-Matrix-Elemente für 4d→2s-Übergang positionieren

Nehmen wir an, wir wollen Übergangsdipolmomente für einen Übergang eines Elektrons von einem 4d- in ein 2p-Orbital eines Wasserstoffatoms berechnen, dh die Matrixelemente der Form$\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle$, wobei _ri entweder die x- , y- oder z - Komponente des Positionsoperators ist und m ₁ , m ₂ die magnetischen Quantenzahlen sind , die verschiedene Orbitale innerhalb der 2p- oder 4d-Unterschale unterscheiden. Wenn wir das direkt tun, müssen wir 45 verschiedene Integrale berechnen: Es gibt drei Möglichkeiten für m ₁ (-1, 0, 1), fünf Möglichkeiten für m ₂ (-2, -1, 0, 1, 2) und drei Möglichkeiten für i , also ist die Summe 3×5×3=45.

Das Wigner-Eckart-Theorem ermöglicht es, die gleichen Informationen zu erhalten, nachdem nur eines dieser 45 Integrale ausgewertet wurde ( jedes davon kann verwendet werden, solange es nicht Null ist). Dann können die anderen 44 Integrale einfach unter Verwendung von Algebra mit Hilfe von Clebsch-Gordan-Koeffizienten abgeleitet werden, die leicht in einer Tabelle nachgeschlagen oder von Hand oder Computer berechnet werden können.

Qualitative Zusammenfassung des Beweises

Das Wigner-Eckart-Theorem funktioniert, weil alle 45 dieser verschiedenen Berechnungen durch Rotationen miteinander in Beziehung stehen. Wenn sich ein Elektron in einem der 2p-Orbitale befindet, wird es durch Drehen des Systems im Allgemeinen in ein anderes 2p-Orbital bewegt (normalerweise landet es in einer Quantenüberlagerung aller drei Basiszustände, m = +1,0, -1). Wenn sich ein Elektron in einem der 4d-Orbitale befindet, wird es in ähnlicher Weise durch Drehen des Systems in ein anderes 4d-Orbital bewegt. Eine analoge Aussage gilt schließlich für den Ortsoperator: Bei einer Drehung des Systems werden die drei verschiedenen Komponenten des Ortsoperators quasi vertauscht bzw. vermischt.

Wenn wir damit beginnen, nur einen der 45 Werte zu kennen – sagen wir, wir kennen ihn$\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle = K$– und dann drehen wir das System, können wir folgern, dass K auch das Matrixelement zwischen der gedrehten Version von ist$\langle 2p,m_1 |$, die gedrehte Version von$r_i$, und die gedrehte Version von$| 4d,m_2 \rangle$. Dies ergibt eine algebraische Beziehung, die K und einige oder alle der 44 unbekannten Matrixelemente umfasst. Unterschiedliche Drehungen des Systems führen zu unterschiedlichen algebraischen Beziehungen, und es stellt sich heraus, dass genügend Informationen vorhanden sind, um alle Matrixelemente auf diese Weise herauszufinden.

(In der Praxis wenden wir beim Durcharbeiten dieser Mathematik normalerweise Drehimpulsoperatoren auf die Zustände an, anstatt die Zustände zu drehen. Dies ist jedoch aufgrund der engen mathematischen Beziehung zwischen Drehungen und Drehimpulsoperatoren im Grunde dasselbe .)

In Bezug auf die Repräsentationstheorie

Um diese Beobachtungen genauer zu formulieren und zu beweisen, hilft es, sich auf die Mathematik der Darstellungstheorie zu berufen . Beispielsweise bildet die Menge aller möglichen 4d-Orbitale (dh die fünf Zustände m =-2,-1,0,1,2 und ihre Quantenüberlagerungen ) einen 5-dimensionalen abstrakten Vektorraum. Durch die Rotation des Systems werden diese Zustände ineinander transformiert, daher ist dies ein Beispiel für eine „Gruppendarstellung“ – in diesem Fall die 5-dimensionale irreduzible Darstellung („irrep“) der Rotationsgruppe SU(2) oder SO(3) , auch "Spin-2-Darstellung" genannt. In ähnlicher Weise bilden die 2p-Quantenzustände ein dreidimensionales Irrep (genannt "Spin-1"),

Betrachten Sie nun die Matrixelemente$\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle$. Es stellt sich heraus, dass diese durch Drehungen gemäß dem direkten Produkt dieser drei Darstellungen transformiert werden, dh der Spin-1-Darstellung der 2p-Orbitale, der Spin-1-Darstellung der Komponenten von r und der Spin-2-Darstellung des 4d Orbitale. Dieses direkte Produkt, eine 45-dimensionale Darstellung von SU(2), ist keine irreduzible Darstellung – stattdessen ist es die direkte Summeeiner Spin-4-Darstellung, zwei Spin-3-Darstellungen, drei Spin-2-Darstellungen, zwei Spin-1-Darstellungen und einer Spin-0- (dh trivialen) Darstellung. Die Matrixelemente ungleich Null können nur aus dem Spin-0-Unterraum kommen. Das Wigner-Eckart-Theorem funktioniert, weil die direkte Produktzerlegung einen und nur einen Spin-0-Unterraum enthält, was impliziert, dass alle Matrixelemente durch einen einzigen Skalierungsfaktor bestimmt werden.

Neben dem Gesamtskalierungsfaktor Berechnung des Matrixelements$\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle$entspricht der Berechnung der Projektion des entsprechenden abstrakten Vektors (im 45-dimensionalen Raum) auf den Spin-0-Unterraum. Das Ergebnis dieser Berechnung sind die Clebsch-Gordan-Koeffizienten .

Möglicherweise (für diesen Zweck) ist der einfachste Ausdruck des Wigner-Eckhart-Theorems in einfacher Sprache "was könnte es sonst sein?" Die Winkelbewegung des Kerns wird durch den Spin beschrieben. Der Spinoperator ist ein Vektor. Für die Quadrapolwechselwirkung benötigen wir einen Tensor zweiter Ordnung. Aus dem Spin-Operator können Sie nur einen spurlosen symmetrischen Tensor zweiten Ranges machen, und also verwenden Sie diesen. Dies ist natürlich ein einfaches Beispiel, und (wie üblich) ermöglichen Ihnen die einfachen Beispiele in der Gruppentheorie, die richtige Antwort zu erhalten, ohne (wirklich) zu wissen, was Sie tun. Dies ist jedoch der "Kern" von Wigner-Eckhart - es gibt nur eine endliche Anzahl von Möglichkeiten (die mit der Gruppentheorie berechnet werden können), Tensoren in Form von Operatoren auszudrücken, die die Zustände beschreiben. Sie müssen sicherstellen, dass Sie alle diese Möglichkeiten mindestens einmal vertreten haben.

Diese Erklärung (mein erster Post auf Stackexchange!) basiert also auf H. Georgis "Lie Algebras in Particle Physics", Kapitel 4. Seit$Q_{ij}$ist symmetrisch, reell und spurlos, es hat 5 unabhängige Freiheitsgrade. Es ist also möglich, sich auszudrücken$Q_{ij}$in eine 'sphärische' Basis$Q^s_l$, wo$s=2$in diesem Fall und$l$nimmt die Werte -2, -1, 0, 1, 2 an. (Der Vollständigkeit halber ist ein sphärischer Tensoroperator, der unter der Spin-Darstellung von SU(2) transformiert, ein Satz von Operatoren, so dass:$[J_a,Q^s_l]=Q^s_m[J^s_a]_{ml}$).

Der springende Punkt des Wigner-Eckart-Theorems ist, dass so etwas wie$Q^s_l |j,m,\alpha>$, was physikalisch den elektrischen Effekten eines Atoms entsprechen würde, das einen Drehimpuls hat, verhält sich tatsächlich mathematisch wie zwei Drehimpuls-Kets, die zusammen gespannt sind (erinnern Sie sich an das Hinzufügen des Drehimpulses von Teilchen in der Quantenmechanik). In Bezug auf die Notation ist dies Ihr Quadrupol-Tensoroperator, der auf einen Zustand mit dem Gesamtdrehimpuls im Quadrat j (j + 1) und dem z-Drehimpuls m wirkt. Hier$\alpha$parametrisiert, was auch immer andere Physik im System vor sich geht, zum Beispiel nicht-perturbative quantenchromodynamische Effekte im Kern, die sehr schwer zu berechnen sind.

Die Aussage des Wigner-Eckart-Theorems lautet:$<J,m',\beta|Q^s_l|j,m,\alpha>=\delta_{m',l+m}<J,l+m|s,j,l,m> * <J,\beta|Q^s|j,\alpha>$.

Auf der linken Seite haben Sie die Wahrscheinlichkeitsamplitude zu messen$Q^s_l|j,m,\alpha>$Gesamtdrehimpuls J(J+1), z Drehimpuls haben$m'$und mit "neuer" Physik$\beta$(was ziemlich kompliziert sein kann). Auf der rechten Seite besagt das Wigner-Eckart-Theorem, dass, wenn Sie die Wahrscheinlichkeitsamplitude kennen$<J,\beta|Q^s|j,\alpha>$, die für JEDES von Ihnen berechnet werden kann$Q^s_l$(berechnet bedeutet, dass ein Experimentator eine Messung durchgeführt hat oder ein hart arbeitender Doktorand die Berechnung durchgeführt hat), und dann nur die Ihnen bekannte Gruppentheorie verwendet$<J,m',\beta|Q^s_l|j,m,\alpha>$für alle anderen$l$. Alles, was Sie tun müssen, ist zu rechnen (oder in Tabellen nachzuschlagen)$<J,l+m|s,j,l,m>$. Dieser Begriff stammt aus dem Kern des Theorems, dass sich der Tensoroperator multipliziert mit dem Ket wie zwei Kets verhält, die anhand einzelner Drehimpulse |s,j,l,m> oder anhand kombinierter Drehimpulse beschrieben werden können$|J,l+m>$.

All dies entsteht, weil die$Q^s_l$Operatoren bilden eine irreduzible Darstellung, nämlich von einem Vektor mit dem höchsten Gewicht$Q^2_2$In Ihrem Beispiel können Sie alle anderen erhalten$Q^2_l$nur durch Anwendung des Absenkoperators. Sie sind also alle verwandt. Also der Begriff$<J,\beta|Q^s|j,\alpha>$die all die böse Physik enthält, ist eine universelle Konstante innerhalb einer gegebenen irreduziblen Darstellung. Wir müssen es also nicht für jeden berechnen$l$, nur einer von ihnen (der einfachste).

Hoffe das hilft!

Werde eine Antwort versuchen. Wie Sie vielleicht wissen, basiert der Satz auf der Darstellungstheorie .

Die Darstellungstheorie für Lie-Gruppen spielt eine wichtige Rolle, da sie besagt, dass Observable aus einer Algebra von Erzeugern der Gruppe konstruiert werden können .

Die Drehimpulsoperatoren sind die Generatoren der Kugelgruppe (wenn ich sagen darf)

Jeder Drehimpulsoperator transformiert also einen Zustand/eine Beobachtung über die Kugel, die die zugrunde liegende Lie-Gruppe/Mannigfaltigkeit eines kugelsymmetrischen Systems ist. Und eine zusammengesetzte Transformation ist eine lineare Kombination einfacherer Transformationen.

Ähnlich wie der Impulsoperator Raumverschiebungen (des Systems) erzeugt und der Hamilton -Operator Zeitverschiebungen (des Systems) erzeugt .

Ich glaube, dass die einfachste Erklärung in der einfachsten Sprache darin besteht, dass das Wigner-Eckhart-Theorem ein quantenmechanischer Ausdruck für die Erhaltung des Drehimpulses ist.

Dies mag nicht selbstverständlich sein, aber es ist schwer, es einfacher zu machen.