Welche physikalische Bedeutung hat die doppelte Konnektivität der SO(3)SO(3)\rm SO(3)-Gruppenmannigfaltigkeit?

Gerade im Hinblick auf die doppelte Universalabdeckung von$SU(2)$,$SO(3)$muss ein Quotient von$SU(2)$bezüglich eines zentralen diskreten Normalteilers mit zwei Elementen. Dies ist Folge einer allgemeinen Eigenschaft universeller überdeckender Lie-Gruppen:

Wenn$\pi: \tilde{G} \to G$ist der universelle bedeckende Homomorphismus der Lie-Gruppe, der Kernel$H$von$\pi$ist eine diskrete normale zentrale Untergruppe der universellen Bedeckung$\tilde{G}$von$G= \tilde{G}/H$, und$H$ist isomorph zur Fundamentalgruppe von$G$, dh$\pi_1(G)$(was für Lie-Gruppen abelsch ist) .

Ein Element dieser Untergruppe muss sein$I$(da eine Gruppe das neutrale Element enthält). Das andere,$J$, muss überprüfen$JJ=I$und somit$J=J^{-1}= J^\dagger$. Bei direkter Betrachtung sieht man das in$SU(2)$es ist nur möglich für$J= -I$. So$SO(3) = SU(2)/\{I,-I\}$.

Beachte das$\{I,-I\} = \{e^{i4\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 }, e^{i2\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 }\}$bleibt im Zentrum$SU(2)$, nämlich die Elemente dieser Untergruppe kommutieren mit allen Elementen von$SU(2)$. Darüber hinaus$\{I,-I\}=: \mathbb Z_2$ist nur die erste Homotopiegruppe von$SO(3)$wie es angesichts der oben zitierten allgemeinen Aussage sein muss.

Eine einheitliche Darstellung von$SO(3)$ist auch eine Darstellung von$SU(2)$durch die Projektion Lie-Gruppenhomomorphismus$\pi: SU(2) \to SU(2)/\{I,-I\} = SO(3)$. Studieren Sie also einheitliche Wiederholungen von$SU(2)$deckt die gesamte Klasse der einheitlichen Wiederholungen ab$SO(3)$. Lassen Sie uns diese Wiederholungen studieren.

Betrachten Sie eine einheitliche Darstellung$U$von$SU(2)$im Hilbertraum$H$. Die zentrale Untergruppe$\{I,-I\}$muss vertreten sein durch$U(I)= I_H$und$U(-I)= J_H$, aber$J_HJ_H= I_H$also, wie vorher,$J_H= J_H^{-1}= J_H^\dagger$.

Wie$J_H$gleichzeitig unitär und selbstadjungiert ist, muss sein Spektrum mit einbezogen werden$\mathbb R \cap \{\lambda \in \mathbb C \:|\: |\lambda|=1\}$. Also (a) es besteht aus$\pm 1$höchstens und (b) das Spektrum ein reines Punktspektrum ist und daher nur echte Eigenspezies in seiner spektralen Zerlegung entstehen.

Wenn$-1$nicht im Spektrum vorhanden ist, ist der einzige Eigenwert$1$und somit$U(-I)= I_H$. Wenn nur der Eigenwert$-1$ist stattdessen vorhanden,$U(-I)= -I_H$.

Wenn die Darstellung irreduzibel ist $\pm 1$können nicht gleichzeitig Eigenwerte sein. Andernfalls$H$würde in die orthogonale direkte Summe von Eigenräumen aufgeteilt werden$H_{+1}\oplus H_{-1}$. Wie$U(-1)=J_H$pendelt mit allen$U(g)$(Weil$-I$liegt im Zentrum von$SU(2)$und$U$ist eine Vertretung),$H_{+1}$und$H_{-1}$wären invariante Unterräume für alle Darstellungen und es ist als verboten$U$ist irreduzibel .

Wir schließen daraus,

wenn$U$ist eine irreduzible einheitliche Darstellung von$SU(2)$, der diskrete Normalteiler$\{I,-I\}$kann nur durch beides dargestellt werden$\{I_H\}$oder$\{I_H, -I_H\}$.

Darüber hinaus:

Seit$SO(3) = SU(2)/\{I,-I\}$, im ersteren Fall$U$ist auch eine Darstellung von$SO(3)$. Das bedeutet es$I = e^{i 4\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma} }$und$e^{i 2\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 } = -I$werden beide umgewandelt in$I_H$durch$U$.

Im letzteren Fall hingegen$U$ist keine wahre Darstellung von$SO(3)$, nur im Hinblick auf ein Zeichen, das danach erscheint$2\pi$, Weil$e^{i 2\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 } = -I$verwandelt sich in$-I_H$und nur$I = e^{i 4\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 }$verwandelt sich in$I$durch$U$.