Ich studiere Weinbergs QFT-Bücher und bin in Bezug auf Symmetrien ziemlich verwirrt über die Unterscheidung zwischen einer Gruppe und ihren Repräsentationen in Weinbergs Präsentation.
Zunächst stellt Weinberg fest, dass Symmetrietransformationen Strahltransformationen sind, die die Wahrscheinlichkeiten erhalten für einen Strahl definiert und eine Familie gegenseitig orthogonaler Strahlen sein
Dann weist er darauf hin (S. 52), dass:
Der Satz von Symmetrietransformationen hat bestimmte Eigenschaften, die ihn als Gruppe definieren . Wenn ist eine Transformation, die Strahlen nimmt hinein Und ist eine weitere Transformation, die dauert hinein , dann ist das Ergebnis der Durchführung beider Transformationen eine weitere Symmetrietransformation, die wir schreiben , das macht hinein . Auch eine Symmetrietransformation die Strahlen nimmt hinein hat eine inverse geschrieben was braucht hinein und es gibt eine Identitätstransformation die Strahlen unverändert lässt.
Er gibt auch den Satz von Wigner an, der besagt, dass wie oben definierte Symmetrietransformationen entweder durch unitäre lineare oder antiunitäre und antilineare Operatoren im Hilbert-Raum realisiert werden können . In seiner Notation für jede Symmetrietransformation man erhält einen unitären Operator . Dann beweist Weinberg das
sagt, dass ist eine projektive Darstellung der Symmetrietransformationen.
Nach dieser Zusammenfassung hier meine Fragen:
Durch (1) oben, um mit Symmetrien umzugehen, erwägt Weinberg tatsächlich implizit, dass es eine Gruppe gibt so dass wir einen Homomorphismus haben Kartierung in die Gruppe der Strahltransformationen?
Mit anderen Worten, für jeden wir haben eine Strahlentransformation. Wenn wir die Symmetrieanforderung von (2) oben auferlegen, haben wir das alles sinkt auf eins und diese bilden eine projektive Darstellung von .
Dadurch vergisst er es am Ende Insgesamt und direkt arbeitet mit projektiven Darstellungen von auf dem Hilbert-Zustandsraum. Ist es das?
Der Hauptunterschied zwischen dem, was ich schreibe, und Weinberg besteht darin, dass ich versuche, eine Gruppe von ihren Repräsentationen zu abstrahieren.
Ich vermute also, dass es eine zugrunde liegende Gruppe gibt von Symmetrien, die zu den Strahltransformationen und dann zu den projektiven Darstellungen führen, während Weinberg zu identifizieren scheint mit den Strahltransformationen selbst.
Ist mein Standpunkt richtig, dass hinter all dem eine abstrakte Gruppe steht? Oder steht hinter den Strahltransformationen tatsächlich keine Gruppe, sondern Weinberg definiert stattdessen eine Gruppe mit den Strahltransformationen selbst?
Sie haben grundsätzlich recht. Weinbergs Philosophie ist im Grunde folgende: Angenommen, Sie wissen (z. B. aufgrund experimenteller Ergebnisse), dass das physikalische System, das Sie untersuchen, Symmetrien aufweist, die von einer Gruppe beschrieben werden . Dafür gibt es viele Beispiele, zB die Rotationssymmetrie in 3 Dimensionen, die von der Gruppe beschrieben wird . Wie kann man einen Hilbertraum konstruieren? was beschreibt dieses quantenmechanische System?
Jede Symmetrietransformation muss zwei Eigenschaften erfüllen:
Diese definieren eine Strahlentransformation. Das heißt, nach der ersten Bedingung haben wir eine Karte von zum Raum der Selbstabbildungen auf dem projektiven Hilbert-Raum (der Raum, dessen Punkte physikalischen Zuständen entsprechen). Die zweite Bedingung, dass Wahrscheinlichkeiten erhalten bleiben, bedeutet, dass jede Selbstabbildung das ist im Bild von muss von einem unitären und linearen oder antiunitären und antilinearen Operator abstammen . Dies ist der Inhalt des Satzes von Wigner. Mit ein wenig zusätzlicher Arbeit können Sie beweisen, dass dies tatsächlich einen Homomorphismus definiert. Sie können sich dies als einen zweistufigen Homomorphismus vorstellen, wobei die erste Karte von ist zur Isometriegruppe von mit der Fubini-Study- Metrik (das ist die "Gruppe der Strahltransformationen" in Ihrer Sprache), und die zweite von dort aus zur Gruppe der unitär-und-linearen oder antiunitär-und-antilinearen Operatoren auf . Der erste Schritt ist physikalischer Natur, während der zweite rein mathematischer Natur ist.
Das Endergebnis ist, dass der Hilbert-Raum eine projektive Darstellung von sein muss . Dies ist keine unmittelbar offensichtliche Tatsache; man hätte denken können, dass eine Symmetrie auf dem Hilbert-Raum nichtlinear realisiert werden könnte, aber der Satz von Wigner sagt uns, dass dies nicht passieren kann. Da Strahltransformationen in der Praxis nicht so einfach zu handhaben sind, arbeiten wir generell lieber mit den Operatoren.
Sie werfen auch die Frage auf, ob wir die Gruppe konstruieren können aus seiner (projektiven) Darstellung. Das ist nicht wirklich eine ganz vernünftige Frage als die Gruppe gehört zu den Daten der Vertretung. Abgesehen davon, unter bestimmten Bedingungen, wenn Sie alle Darstellungen von kennen kann man rekonstruieren , obwohl dies eine andere Richtung ist als das, worüber Weinberg spricht. Genauer gesagt, ist es möglich, die Menge der Repräsentationen (ohne ihre Daten) zusammen mit Informationen darüber, wie sie miteinander in Beziehung stehen (siehe Kategorie der Repräsentationen ), zu rekonstruieren wenn es sich um eine kompakte topologische Gruppe handelt (bis auf eine zentrale Erweiterung, wenn wir projektive Darstellungen einbeziehen). Dies ist als Tannaka-Krein-Dualität bekannt .