Wie eine Symmetrietransformation auf Quantenfelder wirkt

Question

Wie eine Symmetrietransformation auf Quantenfelder wirkt

GaloisFan

Ich studiere Teilchenphysik und bin es endlich leid, QFT mit lästigen Zweifeln durchzudrücken, die sowohl sehr einfach als auch grundlegend wichtig zu sein scheinen und auf die mehrere meiner Professoren keine angemessenen (und miteinander zusammenhängenden) Antworten geben konnten. Also, verzeihen Sie, wenn die Frage dumm ist und wissen Sie, dass mir bewusst ist, dass dies wahrscheinlich schon dutzende Male beantwortet wurde, zum Beispiel hier .

Nehmen wir also an, wir betrachten eine Symmetriegruppe (Lie). $G$ , dessen abstrakte Elemente $g$ wirken auf unseren Hilbertraum durch eine Repräsentation $U(g)$ . Wenn wir wollen, dass die Transformationen Wahrscheinlichkeiten bewahren, ist die Darstellung besser (projektiv) (anti)einheitlich. Nun, wie wirken sich diese Transformationen auf unsere Felder und Zustände aus? Die Frage klingt sehr albern, wenn man bedenkt, dass die Repräsentation selbst so definiert ist, dass sie das tut, was meine Frage im Sinne von „Was macht sie“ betrifft, aber ich bin mit drei Situationen verwirrt:

(i) Die Transformationen wirken genauso wie im klassischen Szenario, aber mit Feldern, die sich zu Operatoren entwickelt haben, d. h. die (Operator-)Felder transformieren sich wie folgt: $\phi \to U(g)\phi$ . Dann zeigt sich, dass wir das Ergebnis, dass dies möglicherweise durch eine einheitliche Ähnlichkeitstransformation dargestellt werden muss, verwenden und schreiben

ϕ \to U (G) ϕ = U^{' †} (G) ϕ U^{'} (G) .

$\begin{equation} \phi \to U(g)\phi=U'^{\dagger}(g)\phi U'(g). \end{equation}$

Nun, eine Darstellung (Basis) $\{T_a\}_a$ der Algebra $\mathfrak{g}$ definiert durch die Exponentialkarte eine Darstellung der Gruppe, und wenn wir die gewünschte Darstellung haben, schreiben wir

ϕ \to e^{ich a_{A} T_{A}} ϕ = e^{- ich a_{A} T_{A}^{'}} ϕ e^{ich a_{A} T_{A}^{'}},

$\begin{equation} \phi \to e^{i\alpha_aT_a}\phi=e^{-i\alpha_aT_a'}\phi e^{i\alpha_aT_a'}, \end{equation}$

wo der Satz $\alpha_a$ ist eins zu eins bezogen auf $g\in G$ . Ich weiß, diese Beschreibung ist sehr skizzenhaft, aber hoffentlich verständlich. Nun, was ist die Beziehung zwischen $T_a$ Und $T'_a$ -- wenn es eine gibt und dies nicht gerade etwas ist, das in einigen speziellen Fällen funktioniert, z $U(1)$ , zum Beispiel -- und warum können die gestrichenen Transformationen $U$ auch als Exponentiale geschrieben werden? Und ist die Begründung, die ich für die Gleichheit in der ersten Gleichung angestellt habe, richtig oder sind Ursache und Wirkung nicht vorhanden?

(ii) Die Transformationen wirken als

{\begin{cases} | ψ ⟩ \to U | ψ ⟩, \\ ϕ \to U ϕ U^{- 1} \end{cases}

$\begin{cases} \left |\psi \right> \to U \left |\psi \right>, \\ \phi \to U\phi U^{-1} \end{cases}$

Erwartungswerte beibehalten. Dies ist natürlich nur der alte Basiswechsel der linearen Algebra. Ich bin mir ziemlich sicher, dass interne Symmetrietransformationen nicht so wirken, und hier gibt es keinen konkreten Zweifel.

(iii) Die Transformation wirkt gerade so, wie es im Heisenberg-Bild (in dem wir arbeiten) zu erwarten wäre, wobei die Zustände in Ruhe gelassen werden und die Felder geändert werden

ϕ \to U^{†} (G) ϕ U (G) = e^{- ich a_{A} T_{A}} ϕ e^{ich a_{A} T_{A}} .

$\begin{equation} \phi \to U^{\dagger}(g)\phi U(g)=e^{-i\alpha_aT_a}\phi e^{i\alpha_aT_a}. \end{equation}$

Dies ist diejenige, die ich am ehesten für die richtige Affirmation halte, dennoch frage ich:

Wenn dies der Fall ist, was ist falsch an dem in (i) Dargestellten ? Und ich wäre sehr dankbar, wenn eine Zusammenfassung der formalen Aspekte der 3 „Fälle“ erstellt werden könnte.

AccidentalFourierTransform

verwandt: Beziehung zwischen der Noether-Ladung und dem Generator einer U(1)-Symmetrie .

Antworten (1)

Wie eine Symmetrietransformation auf Quantenfelder wirkt

verwandt: Beziehung zwischen der Noether-Ladung und dem Generator einer U(1)-Symmetrie .

Knzhou · Answer 1

Es sieht so aus, als ob es in dieser Frage ein paar unabhängige Verwirrungen gibt, also hilft vielleicht ein vollständiges Beispiel. Betrachten wir ein komplexes Skalarfeld in einer Theorie mit dem $U(1)$ Symmetrie

ϕ \to e^{ich θ} ϕ

$\phi \to e^{i \theta} \phi$ wo ich das unterdrücke

x

$x$ Koordinate. Tatsächlich ist die Symmetrie im Quantenfall einfach

\hat{ϕ} \to e^{ich θ} \hat{ϕ} .

$\hat{\phi} \to e^{i \theta} \hat{\phi}.$ Wir möchten jedoch vielleicht wissen, wie die Symmetrieoperatoren auf Zustände wirken, und dazu müssen wir härter arbeiten. Nach dem Satz von Noether ist der erhaltene Strom

J^{μ} = ich (ϕ \partial^{μ} ϕ^{*} - ϕ^{*} \partial^{μ} ϕ) .

$j^\mu = i \, (\phi \partial^\mu \phi^* - \phi^* \partial^\mu \phi).$ Die Erhaltungsladung ist

Q = ich \int D X (ϕ {\dot{ϕ}}^{*} - ϕ^{*} \dot{ϕ}) .

$Q = i \int d\mathbf{x} \, (\phi \dot{\phi}^* - \phi^* \dot{\phi}).$ Wenn wir zur Quantenfeldtheorie übergehen, die

ϕ

$\phi$ Hier werden einfach Feldoperatoren.

Nun, die erhaltene Ladung erzeugt immer die Symmetrie, das heißt das

U (e^{ich θ}) = e^{ich θ Q} .

$U(e^{i \theta}) = e^{i \theta Q}.$ Das ist nichts Fremdes oder Unerwartetes; es kommt sogar in der Hamiltonschen Mechanik vor, wo erhaltene Ladungen die erzeugenden Funktionen für die entsprechenden Symmetrien sind. Die Symmetrie wirkt direkt auf Zustände und durch Konjugation auf Felder,

\hat{ϕ} \to e^{ich θ Q} \hat{ϕ} e^{- ich θ Q}, | v ⟩ \to e^{ich θ Q} | v ⟩ .

$\hat{\phi} \to e^{i \theta Q} \hat{\phi} e^{-i\theta Q}, \quad |v \rangle \to e^{i \theta Q} |v\rangle.$ Natürlich würden Sie in einer praktischen Situation nicht beide Transformationen durchführen, sondern die eine oder andere, je nachdem, ob Sie im Schrödinger- oder im Heisenberg-Bild denken. Wie Sie in Punkt (ii) sagten, ist beides ein No-Op. Der ganze Sinn einer Symmetrie besteht darin, verschiedene Erwartungswerte zueinander in Beziehung zu setzen und nicht einen einzigen auf ausgefallene Weise umzuschreiben. Wenn Sie in diesem Punkt verwirrt sind, denken Sie an einen einfacheren Fall zurück, wie z. B. die Rotationssymmetrie des Wasserstoffatoms. Wir machen hier nichts grundsätzlich anders.

Im Falle einer infinitesimalen Symmetrie haben wir

\hat{ϕ} \to \hat{ϕ} + ich θ Q \hat{ϕ} - ich θ \hat{ϕ} Q

$\hat{\phi} \to \hat{\phi} + i \theta Q \hat{\phi} - i \theta \hat{\phi} Q$ zuerst bestellen

θ

$\theta$ , was bedeutet

δ \hat{ϕ} = ich θ [Q, \hat{ϕ}] .

$\delta \hat{\phi} = i \theta \, [Q, \hat{\phi}].$ Daher hört man manchmal die Aussage „[Symmetrie]-Operatoren wirken durch Kommutatoren auf Operatoren“. Auch dies ist nicht ungewohnt; Sie haben dies bereits in der Hamiltonschen Mechanik gesehen, jedoch mit einer Poisson-Klammer anstelle eines Kommutators.

Früher sagte ich $\hat{\phi} \to e^{i \theta} \hat{\phi}$ , was impliziert

δ \hat{ϕ} = ich θ \hat{ϕ} .

$\delta \hat{\phi} = i \theta \, \hat{\phi}.$ Stimmen diese beiden Aussagen überein? Ja. Alles, was Sie tun müssen, ist, den Kommutator explizit auszuwerten, indem Sie die kanonischen Kommutierungsbeziehungen verwenden. Diese gelten sogar für wechselwirkende Feldtheorien, da wir im Wechselwirkungsbild arbeiten. Da die Vertauschungsbeziehungen nur zu gleichen Zeiten gelten, müssen Sie auswerten

Q

$Q$ gleichzeitig werten Sie aus

\hat{ϕ}

$\hat{\phi}$ . (Dies ist kein Problem, da nach der Definition einer Symmetrie

[Q, H] = 0

$[Q, H] = 0$ So

Q

$Q$ ist zeitunabhängig.)

Ihr Fall (i) ist schlecht, weil Sie zwischen den Abbildungen unterscheiden sollten $\phi \to f(\phi, g)$ mit klassischen Symmetrien und den unitären Operatoren verbunden $U(g)$ die auf dem Hilbertraum wirken. Die Kartierung $f(\phi, g)$ muss nicht einheitlich oder gar eine lineare Transformation sein.

Im obigen Beispiel wirken Sie nicht auf die Zustände ein, indem Sie sie einfach mit multiplizieren $e^{i \theta}$ , was trivial wäre. Sie handeln stattdessen mit $U(g)$ . Sie können überprüfen, ob es sich tatsächlich um einen Faktor von dreht $e^{i \theta}$ für jedes Materieteilchen und $e^{-i\theta}$ für jedes Antimaterieteilchen im Zustand.

Vielen Dank für die Antwort, it! Etwas verstehe ich immer noch nicht ganz: Sie haben am Anfang gesagt, dass „in der Tat die Symmetrie im Quantenfall einfach ...“ ist, und dann danach die richtige Symmetrietransformation (durch Konjugation) gezeigt. Ich verstehe natürlich, dass die Transformationen durch die Noether-Ladungen erzeugt werden, und was ich nicht genau nachvollziehen kann, ist der Unterschied zwischen den beiden Aussagen. Handelt es sich bei der ersten nur um die Erkenntnis, welche Symmetrie die Theorie besitzt, und bei der zweiten darum, welche entsprechende Transformation die Physik invariant lässt?
@GaloisFan Ich bin mir nicht sicher, was du hier meinst. Symmetrien sind Transformationen, die die Physik invariant lassen. (Ich bin mir nicht sicher, was Sie sonst noch unter „Symmetrie“ verstehen würden.) Bei einer gegebenen klassischen Symmetrie habe ich Ihnen zwei Möglichkeiten gezeigt, um aufzuschreiben, wie eine Symmetrie auf die Felder wirkt: Entweder kopieren Sie, was sie im klassischen Fall getan hat , oder formaler konjugiert durch einen Operator. Beides sind Möglichkeiten, genau dieselbe zugrunde liegende Symmetrie aufzuschreiben. Bitte sagen Sie mir, wenn dies Ihre Verwirrung nicht löst!
Sie haben gezeigt, dass beide Formen äquivalent sind, aber was ist mit einer komplizierteren Symmetriegruppe? Zum Beispiel, $\phi \to e^{i T_a \alpha_a}\phi$ . Dann treten hier schon die Erhaltungsladungen auf, also die Generatoren $T_a$ . Was würde in diesem Fall (in Bezug auf beide Formen) passieren?
@GaloisFan Die Argumentation ist identisch, außer dass Indizes in den meisten Gleichungen vorkommen. Die gleichung $U(e^{i\theta}) = e^{i \theta Q}$ wird einfach $U(e^{i T_a \theta^a}) = e^{i Q_a \theta^a}$ . (Dies stimmt mit dem abelschen Fall überein, wo der Generator $T$ ist ein.)
@GaloisFan Die Menge $T_a$ ist in keiner Weise eine Erhaltungsladung, weder klassisch noch in der Quantentheorie. Ich meine, schauen Sie sich den abelschen Fall an – dort $T_a$ ist buchstäblich nur die Zahl $1$ .
Ich verstehe! Das ist eine andere Sache, die ich immer falsch verstanden habe. Ein letzter Zweifel: Was ist in diesem Fall der Unterschied zwischen den Algebra-Basiselementen „Generatoren“ und den Noether-erhaltenen Ladungs-„Generatoren“? Entschuldigung, wenn dies nur die gleiche Frage immer und immer wieder wiederholt.
@GaloisFan Ah, da warst du wahrscheinlich verwirrt. Beide $T_a$ und das $Q_a$ sind Generatoren für eine Lie-Gruppe von Symmetrien, klassische bzw. Quantensymmetrien. Das bedeutet, dass sie infinitesimale Symmetrien darstellen, und Sie potenzieren sie, um endliche Symmetrien zu erhalten. Aber $T_a$ ist keine Erhaltungsladung ist, $Q_a$ ist die entsprechende Erhaltungsladung.

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