3D isotroper Oszillator und Drehimpulsalgebra

In unserem QM-Kurs sagte der Prof:

„Wir sind bereit, mit der Konstruktion der einzelnen Zustände des isotropen harmonischen 3D-Oszillatorsystems zu beginnen. Die Schlüsseleigenschaft besteht darin, dass sich die Zustände in Repräsentationen des Drehimpulses organisieren müssen . Da der Drehimpuls mit dem Hamilton-Operator pendelt, repräsentieren Drehimpuls-Multipletts entartete Zustände.“

Warum „müssen“ sie? Liegt das daran, dass es Rotationsinvarianz gibt und es daher einen erhaltenen Drehimpuls geben "muss", also eine Algebra von Drehimpulsoperatoren, die zwangsläufig zu führen | ℓ , M ⟩ Eigenkets, die den Zustandsraum für den 3D-Oszillator überspannen?

Antworten (1)

I) Vielleicht ist es hilfreich darauf hinzuweisen, auch wenn das physikalische System S keine Rotationssymmetrie hat (zB wenn das System S ein anisotroper harmonischer 3D-Oszillator ist), dann die Lie-Gruppe G = S Ö ( 3 ) Rotationen hat immer noch eine Gruppenaktion G × S → S auf dem System. Siehe auch zB diesen Phys.SE Beitrag.

Insbesondere der Hilbertraum H des Systems wird immer noch (eine möglicherweise unendlich dimensionale, möglicherweise reduzierbare) Repräsentation 1 von G .

Und der Hilbertraum H = ⊕ J H J kann in endlichdimensionale zerlegt werden G - irrep H J .

Außerdem der Drehimpuls J ich , ich ∈ { 1 , 2 , 3 } , sind die Erzeuger der entsprechenden Lie-Algebra S Ö ( 3 ) .

II) Nun, wenn die J ich , ich ∈ { 1 , 2 , 3 } , pendeln zufällig mit dem Hamiltonian H , dann kann man mehr in Anlehnung an das sagen, was der Professor von OP erwähnt. Insbesondere die vorgenannten G -irreps H J werden zu (entarteten) Energie-Eigenräumen.

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1 Zur Eindeutigkeit der Wellenfunktion siehe zB auch diese Phys.SE-Frage.

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