Verwendung von Symmetrie zur Bestimmung der Zerfallsroute eines Wasserstoffelektrons von |300⟩|300⟩|300\rangle bis |100⟩|100⟩|100\rangle

Question

Verwendung von Symmetrie zur Bestimmung der Zerfallsroute eines Wasserstoffelektrons von |300⟩|300⟩|300\rangle bis |100⟩|100⟩|100\rangle

Merkh

Nehmen wir an, wir haben ein Elektron im Zustand $|nlm\rangle = |300\rangle$ des Wasserstoffatoms. Durch Auswahlregeln wissen wir, dass es nur auf 3 Wegen in den Grundzustand zerfallen kann, nämlich durch die $|21m\rangle$ Zustand, wo $m = -1,0,1,$ auf die alle fallen $|100\rangle$ beim nächsten Verfall. Ich möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der das Elektron jedes der "durchgeht". $|21m\rangle, \; m = -1,0,1$ Zustände. Mit anderen Worten, ich möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Elektron beim Zerfall jeden der folgenden Wege nimmt:

\begin{aligned} | 300 ⟩ \to & | 21 - 1 ⟩ \to | 100 ⟩ \\ | 300 ⟩ \to & | 210 ⟩ \to | 100 ⟩ \\ | 300 ⟩ \to & | 211 ⟩ \to | 100 ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} |300\rangle \to &|21-1\rangle \to |100\rangle\\ |300\rangle \to &|210\rangle \to |100\rangle\\ |300\rangle \to &|211\rangle \to |100\rangle. \end{align}$ Ich weiß, die Antwort ist

1 / 3

$1/3$ jeweils durch Brute-Force-Berechnung. Ich habe mich gefragt, ob es ein Symmetrieprinzip gibt, das es einem ermöglichen würde, dies auf eine nicht handgewellte Weise zu schließen.

Die Brute-Force-Berechnung beinhaltet das Rechnen $\langle 210|z|300\rangle$ und andere unangenehme Integrale, daher wäre es interessant, wenn man die Wahrscheinlichkeiten des Zerfallswegs "kennen" könnte, ohne solche Berechnungen durchzuführen.

Würde dieses Ergebnis "gleiche Wahrscheinlichkeit für jede Route" auf den Zerfall aus jedem Zustand verallgemeinern? Sagen, $|400\rangle?$

Javier

Ich bin versucht, das zu sagen

m

$m$ spielt bei der Rotationssymmetrie keine Rolle, aber ich weiß nicht, ob das zu einem rigorosen Argument werden kann.

Prahar

Sie müssen sich über das Wigner-Eckart-Theorem informieren.

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Verwendung von Symmetrie zur Bestimmung der Zerfallsroute eines Wasserstoffelektrons von |300⟩|300⟩|300\rangle bis |100⟩|100⟩|100\rangle

Ich bin versucht, das zu sagen $m$ spielt bei der Rotationssymmetrie keine Rolle, aber ich weiß nicht, ob das zu einem rigorosen Argument werden kann.
Sie müssen sich über das Wigner-Eckart-Theorem informieren.

Asaf · Answer 1

Der Weg, dies zu tun, ist das Wigner-Eckart-Theorem . Die Art und Weise, wie es auf Ihr Problem angewendet wird, ist wie folgt:

⟨ N l M | \vec{R} | N^{'} l^{'} M^{'} ⟩ = ⟨ N l | | \vec{R} | | N^{'} l^{'} ⟩ ⟨ l^{'} M^{'} 1 Q | l M ⟩

$\left\langle nlm |\vec{r}| n'l'm'\right\rangle = \left\langle nl ||\vec{r}|| n'l'\right\rangle \left\langle l' m' 1 q | l m\right\rangle$ wobei der zweite Faktor ein Clebsch-Gordan-Koeffizient ist und

q = - 1, 0, 1

$q=-1,0,1$ gibt die Art des Übergangs an.

Für die Übergänge, die Sie geschrieben haben $|300\rangle \rightarrow |21m\rangle$ , alle Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind gleich und gleich 1.

Da kommt es nicht auf den Clebsch-Gordan-Faktor an $n$ Sie können dieses Ergebnis auf beliebige verallgemeinern $\left| n 0 0\right\rangle$ Zustand.

Verwendung von Symmetrie zur Bestimmung der Zerfallsroute eines Wasserstoffelektrons von |300⟩|300⟩|300\rangle bis |100⟩|100⟩|100\rangle

Merkh

Javier

Prahar

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Asaf

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