Ausdrücken der Eigenzustände von L2L2\mathbf{L}^2 und LzLzL_z durch die kartesischen Eigenzustände |nxnynz⟩|nxnynz⟩|n_x\, n_y\, n_z\rangle

Ich möchte die entarteten Eigenzustände des dreidimensionalen isotropen harmonischen Oszillators ausdrücken, die als Eigenzustände von geschrieben werden L 2 Und L z , in Bezug auf die kartesischen Eigenzustände | N X N j N z ⟩ für den ersten aufgeregten Zustand, aber ich bin mir nicht sicher, wie.

Ich weiß, dass der erste angeregte Zustand dreifach entartet ist: N X = 1 oder N j = 1 oder N z = 1 , So N ≡ N X + N j + N z = 1 . Beschriften Sie den kugelförmigen Zustand | N ℓ M ⟩ , da wir das wissen L z = ich ℏ [ A X A j † − A X † A j ] , wir haben

⟨ N X N j N z | L z | N ℓ M ⟩ = M ℏ ⟨ N X N j N z | N ℓ M ⟩ ⟨ N X N j N z | L z | N ℓ M ⟩ = ich ℏ ⟨ N X N j N z | [ A X A j † − A X † A j ] | N ℓ M ⟩
was dazu führt
M ⟨ N X N j N z | N ℓ M ⟩ = ich ( N X + 1 ) N j ⟨ N X + 1 N j − 1 N z | N ℓ M ⟩ − ich N X ( N j + 1 ) ⟨ N X − 1 N j + 1 N z | N ℓ M ⟩
Deshalb,
M ⟨ 1 0 0 | N l M ⟩ = − ich ⟨ 0 1 0 | N l M ⟩ M ⟨ 0 1 0 | N l M ⟩ = + ich ⟨ 1 0 0 | N l M ⟩ M ⟨ 0 0 1 | N l M ⟩ = 0
Außerdem können wir zerlegen | N l M ⟩ In | N X N j N z ⟩ Basis
| N l M ⟩ = ∑ N X N j N z | N X N j N z ⟩ ⟨ N X N j N z | N l M ⟩
Also möchte ich zum Beispiel zerlegen | 1 1 1 ⟩ N ℓ M
| 1 1 1 ⟩ = | 1 0 0 ⟩ ⟨ 1 0 0 | 1 1 1 ⟩ + | 0 1 0 ⟩ ⟨ 0 1 0 | 1 1 1 ⟩ + | 0 0 1 ⟩ ⟨ 0 0 1 | 1 1 1 ⟩ = | 1 0 0 ⟩ ⟨ 1 0 0 | 1 1 1 ⟩ + | 0 1 0 ⟩ ( ich ⟨ 1 0 0 | 1 1 1 ⟩ ) = ( | 1 0 0 ⟩ + ich | 0 1 0 ⟩ ) ⟨ 1 0 0 | 1 1 1 ⟩

aber ich bin hier hängen geblieben. Ich weiß nicht, wie ich auf das Ergebnis komme

| 1 1 1 ⟩ = 1 2 | 1 0 0 ⟩ + ich 2 | 0 1 0 ⟩
Irgendwie ⟨ 1 0 0 | 1 1 1 ⟩ wertet zu 1 / 2 .

Vielen Dank im Voraus.

Antworten (1)

Sie wissen, dass die Normalisierung des Skalarprodukts 1 ist, d. h.

⟨ N l M   |   N l M ⟩ = 1

Sie können diese Informationen verwenden, um den Wert von zu ermitteln ⟨ N X = 1 N j = 0 N z = 0   |   N = 1 l = 1 M = 1 ⟩ als,

⟨ 1 1 1 | 1 1 1 ⟩ = 1
Wenn Sie einen Teil der Algebra als Teil der Übung* für sich lassen, erhalten Sie:
1 = ( 1 + 1 ) | ⟨ 1 0 0   |   1 1 1 ⟩ | 2

dann gibt Ihnen das Lösen das Übergangselement für ⟨ 1 0 0   |   1 1 1 ⟩ = 1 / 2

erinnern | ϕ ⟩ † = ⟨ ϕ | und auch die Orthogonalitätsbedingungen, wenn sowohl "bra" als auch "ket" in derselben Basis sind.

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