Verwenden der Rotationsmatrix für den Spin, um den x-orientierten Spin auf der Z-Spin-Basis zu schreiben

Question

Verwenden der Rotationsmatrix für den Spin, um den x-orientierten Spin auf der Z-Spin-Basis zu schreiben

a00

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$ Das Problem besteht darin, den Ket-Vektor für ein Teilchen mit Spin +1/2 entlang der x-Achse in Form der Standard-Basisvektoren zu schreiben $\ket{+1/2}$ Und $\ket{-1/2}$ entlang der z-Achse.

Diese Seite gibt die Rotationsmatrix um die y-Achse wie folgt an:

(\begin{matrix} \cos (θ / 2) & Sünde (θ / 2) \\ - Sünde (θ / 2) & \cos (θ / 2) \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \cos (\theta/2) & \sin(\theta/2)\\ -\sin (\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix}$ Also denke ich, wenn ich nur den Vektor drehe

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

$\left(\begin{smallmatrix} 1 \\0\end{smallmatrix} \right)$ 90 Grad um die y-Achse, das ergibt die Antwort. (Da ein um 90 Grad um die y-Achse gedrehter z-orientierter Vektor einen x-orientierten Vektor erzeugt).

Aber die obige Matrix mit dem Vektor multiplizieren $\left(\begin{smallmatrix} 1 \\0\end{smallmatrix} \right)$ gibt $\left(\begin{smallmatrix} \cos(90^\circ/2) \\-\sin(90^\circ/2) \end{smallmatrix} \right)$

welches ist

(\begin{matrix} \cos (45^{\circ}) \\ - Sünde (45^{\circ}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 / \sqrt{2} \\ - 1 / \sqrt{2} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \cos(45^\circ) \\ -\sin(45^\circ)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt2 \\ -1/\sqrt2\end{pmatrix}$ .

Aber das Buch sagt, die Antwort ist $\hbar/2 \cdot \ket{-1/2}$ was ich glaube ist das gleiche wie $\hbar/2 \cdot \left(\begin{smallmatrix} 0 \\1\end{smallmatrix} \right)$ . Was ist falsch?

Antworten (2)

Verwenden der Rotationsmatrix für den Spin, um den x-orientierten Spin auf der Z-Spin-Basis zu schreiben

Kyle Arean-Raines · Answer 1

Kyle Arean-Raines

Sind Sie sicher, dass Sie das Buch finden soll?

$\hbar/2$ ist der Eigenwert von $S_{x}$ Operator, der Spin-up entspricht, aber nicht Teil des Zustandsvektors ist. Wenn die Frage Sie wirklich auffordert, das auszudrücken $\mid S_{x};+\rangle$ ket im $S_{z}$ Basis, dann sind Sie fast richtig, nur ein kleiner Vorzeichenfehler:

∣ S_{X}; + ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} ∣ + ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} ∣ - ⟩

$\mid S_{x};+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\mid+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\mid-\rangle$

a00

Ich denke du hast Recht, dass ich die Frage falsch verstanden habe. Hier ist ihre Lösung:

a00

\hat{S_{x}} | (+ 1 / 2) ⟩ = ℏ / 2 (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = ℏ / 2 (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = ℏ / 2 | (- 1 / 2) ⟩

$\hat{S_x}|(+1/2)\rangle = \hbar/2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = \hbar/2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \hbar/2|(-1/2)\rangle$

a00

Ich gehe davon aus, dass Ihr

| + ⟩

$|+\rangle$ Notation bedeutet für sie,

| (+ 1 / 2) ⟩

$|(+1/2)\rangle$ . Ich versuche immer noch, Ihre Antwort zu verstehen. Danke, dass du es gegeben hast.

Kyle Arean-Raines

Ja, das ist richtig.

∣ \pm ⟩

$\mid \pm \rangle$ =

∣ (\pm 1 / 2) ⟩

$\mid (\pm1/2) \rangle$ .

{\hat{S}}_{x} ∣ (+ 1 / 2) ⟩

$\hat S_{x}\mid (+1/2) \rangle$ entspricht der Messung des Spins entlang der

x

$x$ -Achse, wenn der Spin des Teilchens entlang der positiven ausgerichtet ist

z

$z$ -Achse. Zuerst drücken sie die aus

{\hat{S}}_{x}

$\hat S_{x}$ Operator im (

∣ (\pm 1 / 2) ⟩

$\mid (\pm1/2) \rangle$ ) Grundlage

{\hat{S}}_{X} = ℏ / 2 ∣ (+ 1 / 2) ⟩ ⟨ (- 1 / 2) ∣ + ℏ / 2 ∣ (- 1 / 2) ⟩ ⟨ (+ 1 / 2) = ℏ / 2 (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$\hat S_{x} = \hbar/2 \mid (+1/2) \rangle \langle (-1/2) \mid + \hbar/2 \mid (-1/2) \rangle \langle (+1/2) = \hbar/2 \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ wobei sie die Matrixdarstellung des Operators verwenden. Dann wenden sie den Operator auf den Zustandsvektor an

∣ (+ 1 / 2) ⟩

$\mid (+1/2) \rangle$ .

Kyle Arean-Raines

Beachten Sie, dass dies entspricht

{\hat{S}}_{X} ∣ (+ 1 / 2) ⟩ = ℏ / 2 ∣ (+ 1 / 2) ⟩ ⟨ (- 1 / 2) ∣ (+ 1 / 2) ⟩ + ℏ / 2 ∣ (- 1 / 2) ⟩ ⟨ (+ 1 / 2) ∣ (+ 1 / 2) ⟩

$\hat S_{x}\mid (+1/2) \rangle = \hbar/2 \mid (+1/2) \rangle \langle (-1/2) \mid (+1/2) \rangle + \hbar/2 \mid (-1/2) \rangle \langle (+1/2) \mid (+1/2) \rangle$ Seit der

∣ (\pm 1 / 2) ⟩

$\mid (\pm1/2) \rangle$ Vektoren sind orthonormal,

⟨ (- 1 / 2) ∣ (+ 1 / 2) ⟩ = 0

$\langle (-1/2) \mid (+1/2) \rangle = 0$ Und

⟨ (+ 1 / 2) ∣ (+ 1 / 2) ⟩ = 1

$\langle (+1/2) \mid (+1/2) \rangle = 1$ , geben

{\hat{S}}_{X} ∣ (+ 1 / 2) ⟩ = ℏ / 2 ∣ (- 1 / 2) ⟩

$\hat S_{x}\mid (+1/2) \rangle = \hbar/2 \mid (-1/2) \rangle$ Ich weiß immer noch nicht, was die Problemstellung ist, aber hoffentlich bringt dies etwas Klarheit. Vielleicht finden Sie es hilfreich, etwas über die Pauli-Matrizen zu lesen.

a00

Die vollständige Problemstellung lautet: Using the basis vectors of

\hat{S_{z}}

$\hat{S_z}$ Eigenvektoren, berechnen

\hat{S_{i}} | (+ 1 / 2) ⟩

$\hat{S_i} |(+1/2)\rangle$ Und

\hat{S_{i}} | (- 1 / 2) ⟩

$\hat{S_i} |(-1/2)\rangle$ (i = x,y,z), wobei

| (+ 1 / 2) ⟩

$|(+1/2)\rangle$ Und

| (- 1 / 2) ⟩

$|(-1/2)\rangle$ sind die Eigenvektoren von

\hat{S_{z}}

$\hat{S_z}$ mit Eigenwerten

ℏ / 2

$\hbar/2$ Und

- ℏ / 2

$-\hbar/2$ , bzw.

a00

In Ihrem ersten Kommentar sehe ich, dass ℏ/2 * |(+1/2)⟩⟨(−1/2)| + ℏ/2 * |(−1/2)⟩⟨(+1/2)| = ℏ/2

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ weil ℏ/2 *

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$ (0 1) + ℏ/2 *

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$ (1 0) = ℏ/2 *

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ + ℏ/2 *

(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ . Danke schön.

Kyle Arean-Raines

Bewegen Sie meine vorherigen Kommentare zu der Frage:

Kyle Arean-Raines

Auch hier ist die Lösung, die Ihr Buch bietet, nicht die Antwort auf die Frage, die Sie stellen. Die Buchlösung entspricht "dem Ergebnis einer Messung entlang der x-Achse eines Teilchens, das in der z-Basis Spin-up ist". Dies ist nicht dasselbe wie das, was Sie fragen, nämlich die Expansion des Spin-Ups entlang der x-Achse in die z-Basis zu schreiben, was das Ergebnis ist, das ich gegeben habe. Ihr Ansatz ist völlig richtig, Sie haben nur einen Vorzeichenfehler im zweiten Koeffizienten gemacht.

Kyle Arean-Raines

Ja das ist richtig.

Kyle Arean-Raines

Okay, die Problembeschreibung scheint ziemlich klar zu sein. Keine Notwendigkeit, die Kets in verschiedene Basen zu erweitern. Sie können einfach das ket in multiplizieren

z

$z$ Basis durch jede der Pauli-Matrizen, die die Spin-Operator-Matrizen in der sind

z

$z$ Basis. Hoffe das klärt die Sache auf :)

a00

Nochmals zu Ihrem ersten Kommentar: Jetzt verstehe ich, was Sie sagen. Du sagst, ich könnte das "ableiten".

\hat{S_{x}}

$\hat{S_x}$ Bediener über diese Ket-BH-Konstruktion. Und Ihr zweiter Kommentar führt dieselbe Berechnung (um das Problem zu lösen) auf andere Weise durch

a00

Ich verstehe jetzt auch deinen dritten Kommentar, wie sich meine Frage von dem Buchproblem unterscheidet. Großartig. Danke schön.

Kyle Arean-Raines

Ja richtig. Beifall

Konstantin Schwarz · Answer 2

Konstantin Schwarz

Ich denke du könntest so arbeiten:

$X_+ ={1 \over \sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) =a (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} ) +b(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} )$ .Wo $X_+$ ist der Eigenvektor auf dem positiven Axon von $S_x$

Löse und finde a,b und da bist du.

Beachten Sie auch, dass Sie einen allgemeinen Spinor als schreiben können $(\begin{matrix} cos\theta /2 \\ sin\theta /2 \cdot e^{ι \phi} \end{matrix} )$ Wo $\theta$ ist der Winkel in der zy-Ebene ausgehend von z und $\phi$ ist der Winkel in der xy-Ebene ausgehend von x.

Hoffe das hilft.

a00

Wo tut

X_{+} = 1 / \sqrt{2} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

$X_+ = 1/\sqrt 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ Komm her, bitte?

Konstantin Schwarz

Hallo. Wenn ich mich nicht irre, ist das der Eigenvektor des Operators

S_{x}

$S_x$ auf dem positiven x-Axon. Auf der anderen Seite befindet sich der Vektor beim z-Axon. Hier, schau mal: Quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node267.html Wenn ich deine Frage gut verstanden habe, willst du den Spinor auf x auf der z-Basis ausdrücken. Das zeigt meine Antwort, aber Sie müssen die Koeffizienten a und b berechnen.

Kyle Arean-Raines

Auch hier ist die Lösung, die Ihr Buch bietet, nicht die Antwort auf die Frage, die Sie stellen. Die Buchlösung entspricht „dem Ergebnis einer Messung entlang der

x

$x$ -Achse eines Teilchens, das im Spin-up ist

z

$z$ Basis." Dies ist nicht dasselbe wie das, was Sie fragen, nämlich die Erweiterung des Spin-Up entlang der zu schreiben

x

$x$ -Achse in der

z

$z$ Basis, das ist das Ergebnis, das ich gegeben habe. Ihr Ansatz ist völlig richtig, Sie haben nur einen Vorzeichenfehler im zweiten Koeffizienten gemacht.

Kyle Arean-Raines

Ein anderer Ansatz: Im Allgemeinen, wenn Sie die Form eines Operators A in einer Basis b kennen, wobei die b's Eigenvektoren sind, einige Operatoren B und A und B nicht kommutieren, können Sie das Eigenwertproblem lösen

A a = λ a

$A a = \lambda a$ die a's in Bezug auf die b's zu finden. In diesem Problem kennen Sie die Darstellung von

S_{x}

$S_{x}$ im

z

$z$ Basis - es ist nur die Pauli-Matrix

σ_{x}

$\sigma_{x}$ . Das Lösen des Eigenwertproblems ergibt die Eigenvektoren von

S_{x}

$S_{x}$ im

z

$z$ Basis, und dann geht es darum, die Koeffizienten a und b wie in Konstantins Antwort zu finden. Dies geschieht, indem man das verlangt

| a |^{2} + | b |^{2} = 1

$|a|^{2} + |b|^{2} = 1$

Konstantin Schwarz

@KyleArean-Raines, Hallo. Tut mir leid, aber sind die Kommentare für mich (Constantine Black) oder für den Poster der Frage? Danke.

Kyle Arean-Raines

Ach, ich entschuldige mich. Ich leite sie zur Frage weiter

Konstantin Schwarz

@KyleArean-Raines, kein Problem. Das passiert sogar den Besten :) .

a00

Constantine B.: Ich denke, Sie sagen, dass die z-Vektoren

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ Und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ bilden eine Basis, sodass wir, wenn wir den Vektor |X+> suchen, wissen, dass er in der Form a*|Z+> + b*|Z-> ausgedrückt werden kann. DANN wissen wir, dass der Vektor |X+> ein Eigenvektor von ist

\hat{S_{x}}

$\hat{S_x}$ Matrix, also können wir die Eigenwertgleichung schreiben

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ * |X+> =

λ

$\lambda$ * |X+>, und dann lösen. Ich weiß es zu schätzen, dass Sie diesen Ansatz erklären.

Konstantin Schwarz

@ user4127427 Wenn Sie Zeit haben, können Sie sich die Seite ansehen, die ich oben kommentiert habe. Dort sehen Sie genau, wie Sie die Eigenvektoren eines Spin-Operators finden - wie Sie sagten. Von dort aus tun Sie, was meine Antwort sagt, und Sie haben Ihre Lösung. Beachten Sie, dass Sie bei anderen Übungen den x-Spinor als Überlagerung des y-Spinors finden müssen und so weiter. Glücklich, dass ich geholfen habe.

a00

@Constantine B.: Zum Abschluss: Diese UCSD-Seite hat bei mir funktioniert. (Ich verstehe immer noch nicht, was Sie über den Spinor gesagt haben, aber ich habe noch nichts darüber gelernt.) Letztendlich ist der Ausgangspunkt, den ich mir einfallen lasse

ℏ / 2 (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) [a * | (+ 1 / 2) ⟩ + b | (- 1 / 2) ⟩] = ℏ / 2 * [a * | (+ 1 / 2) ⟩ + b * | (- 1 / 2) ⟩]

$\hbar/2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}[a*|(+1/2)\rangle + b|(-1/2)\rangle] = \hbar/2 * [a*|(+1/2)\rangle + b*|(-1/2)\rangle]$

a00

@Constantine B.: Ersetzen

| (+ 1 / 2) ⟩

$|(+1/2)\rangle$ mit

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ Und

| (- 1 / 2) ⟩

$|(-1/2)\rangle$ mit

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ Wenn Sie die Berechnung durchführen, erhalten Sie am Ende zwei Gleichungen, b=a und a=b. So ist die Lösung

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ und normalisieren. Vielen Dank, dass Sie mir bei diesem Ansatz geholfen haben.

a00

@Kyle Arean-Raines: Ich denke, Ihr letzter Kommentar weist darauf hin, dass eine Verwendung von Operatoren als "Basiskonverter" erfolgt, wenn Sie bereits die Matrix haben, die der Ausdruck des Operators in der Basis ist, zu der Sie gelangen möchten. (wie bei Pauli x-Matrix repräsentiert x Spin und die

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ Ausdruck ist für die z-Spin-Standardbasis). Wenn dies nicht korrekt ist, ist das in Ordnung; Ich bin mir sicher, früher oder später werde ich es kapieren.

Kyle Arean-Raines

Nicht ganz. Wenn Sie einen Operator auf ein Ket anwenden, können Sie entweder den Operator in der Ket-Basis ausdrücken oder das Ket in der Operator-Basis ausdrücken (das Ket in Bezug auf die Eigenkets des Operators erweitern). Bleiben Sie dran, es kann eine Weile dauern, bis diese Konzepte verinnerlicht werden :)