Elektronenspin-Zustandswahrscheinlichkeit [geschlossen]

Question

Elektronenspin-Zustandswahrscheinlichkeit [geschlossen]

Benutzer58143

Angenommen, es gibt ein Teilchen mit Spin 1/2 in einem Zustand $\chi = {1 \over \sqrt{5}} \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ \end{bmatrix}$ . Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, das Teilchen in einem Spin-up zu finden ( $\hbar/2$ )-Zustand multiplizieren wir einfach den Zustand des Teilchens mit der Adjungierten der Eigenspinor-Matrix, die den Spin-Up darstellt, und quadrieren das Ergebnis. Daher erhalten wir:

$P_+ = {1 \over 5}$

Aber was ist, wenn wir beim Messen den Spin-Up-Zustand wollen? $S_x$ Und $S_z$ ?

EDIT: (Beispiel von Griffiths)

Das Problem, das ich habe, wurde durch ein rotes Kästchen markiert. Woher haben wir den Faktor $(3+i)$ in der Wahrscheinlichkeitsmessung für $S_x$ ? Können Sie das bitte näher erläutern?

Daniel Sank

Diese Frage hat ein paar Probleme. Zunächst einmal mögen wir keine Screenshots von Lehrbüchern. Wenn es etwas Relevantes für die Frage in einem Buch gibt, geben Sie diesen Inhalt selbst in die Frage ein. Dafür gibt es mehrere Gründe: 1) es ist einfacher zu lesen, 2) es führt zu gezielteren Fragen, was bedeutet, dass 3) es für Sie viel wahrscheinlicher ist, die Antwort auf Ihre eigene Frage herauszufinden. Das andere Problem ist, dass die Frage vage ist. Sie fragen, ob wir "ausarbeiten" können. Das ist keine Frage. Bitte suchen Sie eine bestimmte Frage und stellen Sie diese :-)

Antworten (2)

Elektronenspin-Zustandswahrscheinlichkeit [geschlossen]

Diese Frage hat ein paar Probleme. Zunächst einmal mögen wir keine Screenshots von Lehrbüchern. Wenn es etwas Relevantes für die Frage in einem Buch gibt, geben Sie diesen Inhalt selbst in die Frage ein. Dafür gibt es mehrere Gründe: 1) es ist einfacher zu lesen, 2) es führt zu gezielteren Fragen, was bedeutet, dass 3) es für Sie viel wahrscheinlicher ist, die Antwort auf Ihre eigene Frage herauszufinden. Das andere Problem ist, dass die Frage vage ist. Sie fragen, ob wir "ausarbeiten" können. Das ist keine Frage. Bitte suchen Sie eine bestimmte Frage und stellen Sie diese :-)

Hubble07 · Answer 1

Lassen $\chi$ sei der wie folgt definierte Spinor:-

χ = (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix})

$\chi=\begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}$

dann zum messen $S_x$ wir müssen die Eigenspinoren von finden $S_x$ welche sind

χ_{+}^{X} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}), χ_{-}^{X} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

$\chi_{+}^x= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} ,\hspace{1cm} \chi_{-}^x= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}$

Jetzt der Spinner $\chi$ kann als lineare Kombination der beiden obigen geschrieben werden, wie in Griffith eq[4.152] gezeigt

χ = (\frac{A + B}{\sqrt{2}}) χ_{+}^{X} + (\frac{A - B}{\sqrt{2}}) χ_{-}^{X}

$\chi=\left(\frac{a+b}{\sqrt{2}}\right)\chi_{+}^x + \left(\frac{a-b}{\sqrt{2}}\right)\chi_{-}^x$

Also die Wahrscheinlichkeit für $S_x$ Ist $(1/2)|a+b|^2$ für $+\hbar/2$ Und $(1/2)|a-b|^2$ für $-\hbar/2$ .

Ebenso kann man das z $S_y$ es ist $(1/2)|a-ib|^2$ für $+\hbar/2$ Und $(1/2)|a+ib|^2$ für $-\hbar/2$ .

Timäus · Answer 2

Der adjungierte Eigenspinor, mit dem Sie multipliziert haben, war der Einheitslängen-Eigenvektor von $\sigma_z$ mit positivem Eigenwert.

Wenn Sie ein Spin-up-Ergebnis für die Richtung wünschen $(n_x,n_y,n_z)$ Finden Sie einen Einheitslängen-Eigenvektor von $n_x\hat\sigma_x+n_y\hat\sigma_y+n_z\hat\sigma_z$ mit positivem Eigenwert. Und benutze das stattdessen.

Wenn Sie eine Interaktion in x-Richtung und anschließend eine Interaktion in z-Richtung durchführen möchten. Dann müssen Sie auf die beiden Eigenräume für von projizieren $1\hat\sigma_x+0\hat\sigma_y+0\hat\sigma_z$ und projiziere dann jedes Ergebnis auf die beiden Eigenräume für von $0\hat\sigma_x+0\hat\sigma_y+1\hat\sigma_z.$ Wo ich es übermäßig kompliziert geschrieben habe, damit Sie jede Art von Anweisungen ausführen können, nicht nur $\hat x$ Und $\hat z.$

Um es klar zu sagen, wenn Sie die z-Basis wählen (wie Sie es getan haben), dann der Grund, mit dem Sie multipliziert haben $[1,0]$ liegt daran, dass es der Adjungierte des Eigenvektors von war $\sigma_z$ mit positivem Eigenwert. Machen Sie genau dasselbe mit $\sigma_x.$

Wenn ich nicht weiß, nach welchem physikalischen Konzept Sie fragen, kann ich das Konzept nicht klarer erklären. Wählen Sie eine Richtung, erhalten Sie eine Matrix, finden Sie einen Eigenvektor, normalisieren Sie ihn, nehmen Sie seinen Adjungierten, multiplizieren Sie ihn mit Ihrem Vektor, nehmen Sie die Größe des Ergebnisses und quadrieren Sie ihn dann. Fertig, das ist die Wahrscheinlichkeit. Wiederholen Sie dies für jeden Eigenvektor der Matrix.

Wenn Sie wiederholte Messungen durchführen, projizieren Sie tatsächlich auf die Eigenräume der Matrizen. Und nehmen Sie das Quadrat der Größen der Projektionen.

Können Sie bitte das Beispiel von Griffiths sehen, das ich der Frage beigefügt habe?
@SabbirHasan Wenn ich nicht weiß, nach welchem physikalischen Konzept Sie fragen, kann ich das Konzept nicht klarer erklären. Wählen Sie eine Richtung, erhalten Sie eine Matrix, finden Sie einen Eigenvektor, normalisieren Sie ihn, nehmen Sie seinen Adjungierten, multiplizieren Sie ihn mit Ihrem Vektor, nehmen Sie die Größe des Ergebnisses und quadrieren Sie ihn dann. Erledigt. Wiederholen Sie dies für jeden Eigenvektor der Matrix.

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Benutzer58143

Daniel Sank

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Hubble07

Benutzer58143

Timäus

Benutzer58143

Timäus

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