Eigenwerte eines Zwei-Teilchen-Systems in gekoppelter vs. ungekoppelter Basis

Betrachten Sie ein System aus zwei unterscheidbaren Spin-1/2-Teilchen mit Hamilton-Operator

$$\begin{align} H &= \frac{\alpha}{4} \vec{\sigma}_1 \cdot\vec{\sigma}_2.\\ \end{align}$$ Wo$\vec{\sigma}_1 = (\sigma_x\otimes 1, \sigma_y\otimes 1, \sigma_z\otimes 1)$Und$\vec{\sigma}_2 = (1\otimes \sigma_x,1\otimes \sigma_y,1\otimes \sigma_z)$. In der ungekoppelten z-Basis können wir den Hamiltonoperator schreiben als $$\begin{align} H&= \frac{\alpha}{4}\left(\sigma_{x}\otimes\sigma_{x}+\sigma_{y}\otimes\sigma_{y}+\sigma_{z}\otimes\sigma_{z}\right)\\ &= \frac{\alpha}{4}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}\right)\otimes\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}\right)\\ &= \frac{\alpha}{4}\begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & -1\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & -1\end{pmatrix} \end{align}$$ Die Matrix $$\begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & -1\end{pmatrix}$$ hat Eigenwerte$\pm\sqrt{3}$, also in der entkoppelten Diagonalbasis $$H = \frac{3\alpha}{4}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$$ die Eigenvektoren hat $$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\hspace{2mm}, \hspace{2mm}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\hspace{2mm}, \hspace{2mm} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$ mit entsprechenden Eigenwerten$3\alpha/4, -3\alpha/4, -3\alpha/4, 3\alpha/4$.

Wir hätten den Hamiltonian umschreiben können als

$$\begin{align} H &= \frac{\alpha}{2}\left[\left(\frac{1}{2}\vec{\sigma}_1+\frac{1}{2}\vec{\sigma}_2\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\vec{\sigma}_1\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\vec{\sigma}_2\right)^2\right]\\ &=\frac{\alpha}{2}\left[s(s+1) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} +1\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} +1\right)\right]\\ &=\frac{\alpha}{2}\left[s(s+1) - \frac{3}{2}\right] \end{align}$$ Wo$s$ist der Spin in der gekoppelten Basis ($s=0$oder$1$). Daher sind die Eigenwerte des Hamiltonoperators in der gekoppelten Basis$-3\alpha/4$(mit Entartung 1) und$\alpha/4$(mit Entartung 3).

Die Eigenwerte des Hamilton-Operators sollten nicht von Ihrer Wahl der Basis abhängen, aber oben erhalte ich unterschiedliche Eigenwerte in den gekoppelten und ungekoppelten Basen. Wo gehe ich falsch?

Lösung (dank Vadim): In der$|\uparrow\uparrow\rangle, |\uparrow\downarrow\rangle,|\downarrow\uparrow\rangle,|\downarrow\downarrow\rangle$Basis nimmt der Hamiltonian die Form an

$$\begin{align} H&= \frac{\alpha}{4}\left(\sigma_{x}\otimes\sigma_{x}+\sigma_{y}\otimes\sigma_{y}+\sigma_{z}\otimes\sigma_{z}\right)\\ &= \frac{\alpha}{4}\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \end{align}$$ die Eigenwerte hat$-3\alpha/4$Und$\alpha/4$. Dies ist nicht dasselbe wie $$\begin{align} \frac{\alpha}{4}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}\right)\otimes\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}\right) = \frac{\alpha}{4}\begin{pmatrix}1&1-i&1-i&-2i\\1+i&-1&2&-1+i\\1+i&2&-1&-1+i\\2i&-1-i&-1-i&1\end{pmatrix} \end{align}$$ die Eigenwerte hat$\pm3\alpha/4$.