Wie findet man den/die Eigenwert(e) für Joint-Spin-Operator-Zustände?

Question

Wie findet man den/die Eigenwert(e) für Joint-Spin-Operator-Zustände?

BRAND

Ich habe begonnen, etwas über Spinoperatoren zu lernen und ihre Eigenwerte zu finden. Ich habe die folgende Frage unten, die in zwei Teile geteilt wird ( der erste Teil wird benötigt, um den zweiten Teil zu lösen ). Ich kann den ersten Teil lösen, der unten gezeigt wird:

Die Einzelteilchen-Spinoperatoren sind wie folgt definiert (unter Weglassung der Faktoren von $\hbar$ zur Klarheit):

${\hat{S}}_{z} | ↑ ⟩ = \frac{1}{2} | ↑ ⟩, {\hat{S}}_{z} | ↓ ⟩ = - \frac{1}{2} | ↓ ⟩$ $\hat s_z |\uparrow\,\rangle=\frac12|\uparrow\,\rangle\, ,\quad \hat s_z |\downarrow\,\rangle=-\frac12|\downarrow\,\rangle$ ${\hat{S}}_{+} | ↑ ⟩ = 0, {\hat{S}}_{+} | ↓ ⟩ = | ↑ ⟩$ $\hat s_+ |\uparrow\,\rangle=0\, ,\quad \hat s_+ |\downarrow\,\rangle=|\uparrow\,\rangle$ ${\hat{S}}_{-} | ↑ ⟩ = | ↓ ⟩, {\hat{S}}_{-} | ↓ ⟩ = 0$ $\hat s_- |\uparrow\,\rangle=|\downarrow\,\rangle\, ,\quad \hat s_- |\downarrow\,\rangle=0$ Die Verwendung dieser Operatoren und die Tatsache, dass $\hat s^2$ kann definiert werden als ${\hat{S}}_{z}^{2} + \frac{1}{2} ({\hat{S}}_{-} {\hat{S}}_{+} + {\hat{S}}_{+} {\hat{S}}_{-})$ $\hat s_z^2+\frac12\left(\hat s_-\hat s_++\,\,\hat s_+\hat s_-\right)$ Zeige, dass $\hat s^2$ hat den Eigenwert $\frac34$ für beide $|\uparrow\,\rangle$ Und $|\downarrow\,\rangle$ .

Beginnend mit der $|\uparrow\,\rangle$ Zustand finde ich

{\hat{S}}_{z}^{2} | ↑ ⟩ = {\hat{S}}_{z} {\hat{S}}_{z} | ↑ ⟩ = \frac{1}{2} {\hat{S}}_{z} | ↑ ⟩ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} | ↑ ⟩ = \frac{1}{4} | ↑ ⟩

$\hat s_z^2|\uparrow\,\rangle=\hat s_z\hat s_z |\uparrow\,\rangle=\frac12\hat s_z|\uparrow\,\rangle=\frac12\cdot\frac12|\uparrow\,\rangle=\color{blue}{\frac14|\uparrow\,\rangle}$

{\hat{S}}_{-} {\hat{S}}_{+} | ↑ ⟩ = {\hat{S}}_{-} (0) = 0

$\hat s_-\hat s_+|\uparrow\,\rangle=\hat s_-(0)=\color{blue}{0}$

{\hat{S}}_{+} {\hat{S}}_{-} | ↑ ⟩ = {\hat{S}}_{+} | ↓ ⟩ = | ↑ ⟩

$\hat s_+\hat s_-|\uparrow\,\rangle=\hat s_+|\downarrow\,\rangle=\color{blue}{|\uparrow\,\rangle}$

Ersetzen Sie nun die blauen Teile in

\begin{aligned} {\hat{S}}^{2} | ↑ ⟩ & = {\hat{S}}_{z}^{2} | ↑ ⟩ + \frac{1}{2} ({\hat{S}}_{-} {\hat{S}}_{+} + {\hat{S}}_{+} {\hat{S}}_{-}) | ↑ ⟩ \\ = {\hat{S}}_{z}^{2} | ↑ ⟩ + \frac{1}{2} {\hat{S}}_{-} {\hat{S}}_{+} | ↑ ⟩ + \frac{1}{2} {\hat{S}}_{+} {\hat{S}}_{-} | ↑ ⟩ \\ = \frac{1}{4} | ↑ ⟩ + \frac{1}{2} (0) + \frac{1}{2} | ↑ ⟩ \\ = \frac{3}{4} | ↑ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align}\hat s^2|\uparrow\,\rangle&=\hat s_z^2|\uparrow\,\rangle+\frac12\left(\hat s_-\hat s_++\,\,\hat s_+\hat s_-\right)|\uparrow\,\rangle\\&=\hat s_z^2|\uparrow\,\rangle+\frac12\hat s_-\hat s_+|\uparrow\,\rangle+\frac12\hat s_+\hat s_-|\uparrow\,\rangle\\&=\frac14|\uparrow\,\rangle+\frac12(0)+\frac12|\uparrow\,\rangle\\&=\frac34|\uparrow\,\rangle\end{align}$ nach Bedarf.

Für die $|\downarrow\,\rangle$ Zustand finde ich

{\hat{S}}_{z}^{2} | ↓ ⟩ = {\hat{S}}_{z} {\hat{S}}_{z} | ↓ ⟩ = - \frac{1}{2} {\hat{S}}_{z} | ↓ ⟩ = - \frac{1}{2} \cdot - \frac{1}{2} | ↓ ⟩ = \frac{1}{4} | ↓ ⟩

$\hat s_z^2|\downarrow\,\rangle=\hat s_z\hat s_z |\downarrow\,\rangle=-\frac12\hat s_z|\downarrow\,\rangle=-\frac12\cdot-\frac12|\downarrow\,\rangle=\color{red}{\frac14|\downarrow\,\rangle}$

{\hat{S}}_{-} {\hat{S}}_{+} | ↓ ⟩ = {\hat{S}}_{-} | ↑ ⟩ = | ↓ ⟩

$\hat s_-\hat s_+|\downarrow\,\rangle=\hat s_-|\uparrow\,\rangle=\color{red}{|\downarrow\,\rangle}$

{\hat{S}}_{+} {\hat{S}}_{-} | ↓ ⟩ = {\hat{S}}_{+} (0) = 0

$\hat s_+\hat s_-|\downarrow\,\rangle=\hat s_+(0)=\color{red}{0}$

Ersetzen Sie nun die roten Teile in

\begin{aligned} {\hat{S}}^{2} | ↓ ⟩ & = {\hat{S}}_{z}^{2} | ↓ ⟩ + \frac{1}{2} {\hat{S}}_{-} {\hat{S}}_{+} | ↓ ⟩ + \frac{1}{2} {\hat{S}}_{+} {\hat{S}}_{-} | ↓ ⟩ \\ = \frac{1}{4} | ↓ ⟩ + \frac{1}{2} | ↓ ⟩ + \frac{1}{2} (0) \\ = \frac{3}{4} | ↓ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align}\hat s^2|\downarrow\,\rangle&=\hat s_z^2|\downarrow\,\rangle+\frac12\hat s_-\hat s_+|\downarrow\,\rangle+\frac12\hat s_+\hat s_- |\downarrow\,\rangle\\&=\frac14|\downarrow\,\rangle+\frac12|\downarrow\,\rangle+\frac12(0)\\&=\frac34|\downarrow\,\rangle\end{align}$ nach Bedarf.

Hier ist der zweite Teil der Frage (den ich nicht lösen kann):

Betrachten Sie nun die Operatoren für den gemeinsamen Zustand zweier Elektronen, z $|\uparrow\uparrow\,\rangle$ , wobei der erste Pfeil den Zustand von Spin 1 und der zweite Spin 2 anzeigt. Wir definieren den Operator für den Gesamtspindrehimpuls des Systems $\hat S=\hat s_1 +\hat s_2$ das sehen wir also $\hat S^2=\hat s_1^2+\hat s_2^2+2\hat s_1\cdot\hat s_2$ . Wir definieren auch den Operator für die totale Projektion des Spins auf die $z$ -Achse; $\fbox{$\hat S_z=\hat s_{z_{\large {1}}}+\hat s_{z_{\large {2}}}$}$ . In Analogie zum Ausdruck für $\hat s^2$ das können wir zeigen
${\hat{S}}_{1} \cdot {\hat{S}}_{2} = {\hat{S}}_{z_{1}} {\hat{S}}_{z_{2}} + \frac{1}{2} ({\hat{S}}_{1_{-}} {\hat{S}}_{2_{+}} + {\hat{S}}_{1_{+}} {\hat{S}}_{2_{-}})$ $\hat s_1\cdot\hat s_2=\hat s_{z_{\large {1}}}\hat s_{z_{\large {2}}}+\frac12\left(\hat s_{1_{\large {-}}}\hat s_{2_{\large {+}}}+\hat s_{1_{\large {+}}}\hat s_{2_{\large {-}}}\right)$ Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehungen, dass die beiden Zustände $|\uparrow\uparrow\,\rangle$ Und $|\downarrow\downarrow\,\rangle$ beide haben $S=1$ und finden Sie die Eigenwerte, die sie für haben $\hat S_z$

Ich beginne mit dem Versuch, die Eigenwerte für zu finden $\hat S_z$ für den Staat $|\uparrow\uparrow\,\rangle$ Verwenden Sie die umrandete Formel im obigen Zitat:

\begin{aligned} {\hat{S}}_{z} | ↑↑ ⟩ & = ({\hat{S}}_{z_{1}} + {\hat{S}}_{z_{2}}) | ↑↑ ⟩ \\ = {\hat{S}}_{z_{1}} | ↑↑ ⟩ + {\hat{S}}_{z_{2}} | ↑↑ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align}\hat S_z|\uparrow\uparrow\,\rangle&=\left(\hat s_{z_{\large {1}}}+\hat s_{z_{\large {2}}}\right)|\uparrow\uparrow\,\rangle\\&=\hat s_{z_{\large {1}}}|\uparrow\uparrow\,\rangle+\hat s_{z_{\large {2}}}|\uparrow\uparrow\,\rangle\end{align}$

Jetzt bin ich völlig festgefahren, da mir keine Beziehung zwischen dem Operator gegeben wird $\hat s_{z_{\large {1}}}$ und seinen Eigenwert (wie ich im ersten Teil der Frage war). Mit anderen Worten $\hat s_{z_{\large {1}}}|\uparrow\uparrow\,\rangle=\mathrm{?}$

Die Antwort lautet einfach:

Unter Verwendung der angegebenen Definitionen
$\begin{matrix} (A) & {\hat{S}}_{z} | ↑↑ ⟩ = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) | ↑↑ ⟩ = | ↑↑ ⟩ \end{matrix}$ $\hat S_z|\uparrow\uparrow\,\rangle=\left(\frac12 +\frac12\right)|\uparrow\uparrow\,\rangle=|\uparrow\uparrow\,\rangle\tag{A}$ einen Eigenwert von geben $M_S=1$ für $|\uparrow\uparrow\,\rangle$ .

Diese Antwort ist überhaupt nicht hilfreich, da ich einfach keine Ahnung habe, wie $(\mathrm{A})$ wurde erhalten. Da ich neu in diesem Bereich bin, haben Sie wahrscheinlich bemerkt, dass ich dazu neige, alle Schritte in der Berechnung aufzuschreiben (in meiner Antwort auf den ersten Teil der Frage).

Könnte jemand bitte die Zwischenschritte beim Erreichen zeigen/erklären $(\mathrm{A})$ auf ähnliche Weise (wenn möglich) wie im ersten Teil?

Antworten (1)

Wie findet man den/die Eigenwert(e) für Joint-Spin-Operator-Zustände?

Noah · Answer 1

Ich denke, der Teil, den Sie vermissen, ist das $\hat{s}_{z_1}$ wirkt nur auf den ersten Spin und hat die gleichen Eigenschaften, als ob der zweite Spin nicht vorhanden wäre, dh

{\hat{S}}_{z_{1}} | ↑ S_{2} ⟩ = \frac{1}{2} | ↑ S_{2} ⟩

$\hat{s}_{z_1} |\uparrow s_2\rangle = \frac{1}{2} |\uparrow s_2\rangle$ Und

{\hat{S}}_{z_{1}} | ↓ S_{2} ⟩ = - \frac{1}{2} | ↓ S_{2} ⟩

$\hat{s}_{z_1} |\downarrow s_2\rangle = -\frac{1}{2} |\downarrow s_2\rangle$ mit

s_{2}

$s_2$ entweder sein

↑

$\uparrow$ oder

↓

$\downarrow$ . Analoge Eigenschaften gelten für

{\hat{s}}_{z_{2}}

$\hat{s}_{z_2}$ . Damit hoffe ich, dass Sie das Problem lösen können.

Um es noch deutlicher zu machen, hier ist, was wirklich hinter der gegebenen Notation passiert. Ein Zustand wie $|s_1 s_2\rangle$ bedeutet eigentlich das Tensorprodukt von $s_1$ mit $s_2$ .

| S_{1} S_{2} ⟩ := | S_{1} ⟩ \otimes | S_{2} ⟩

$|s_1 s_2\rangle := |s_1\rangle \otimes |s_2\rangle$ Die Operatoren wirken bisher nur auf einen der Räume, wie z

{\hat{s}}_{z_{1}}

$\hat{s}_{z_1}$ Und

{\hat{s}}_{z_{2}}

$\hat{s}_{z_2}$ werden in diesen Tensorraum übertragen, indem sie wie folgt auf einen Einheitsoperator gespannt werden:

{\hat{S}}_{z_{1}} \otimes ICH Und ICH \otimes {\hat{S}}_{z_{2}}

$\hat{s}_{z_1} \otimes \mathbb{I} \qquad \text{and} \qquad \mathbb{I} \otimes \hat{s}_{z_2}$ Der linke Operator wirkt auf den ersten Zustand des Tensorprodukts, der zweite Operator auf den rechten Zustand. Dann bekommt man Sachen wie

({\hat{S}}_{z_{1}} \otimes ICH) (| S_{1} ⟩ \otimes | S_{2} ⟩) = ({\hat{S}}_{z_{1}} | S_{1} ⟩) \otimes (ICH | S_{2} ⟩)

$(\hat{s}_{z_1} \otimes \mathbb{I}) (|s_1\rangle \otimes |s_2\rangle)\\ = (\hat{s}_{z_1}|s_1\rangle) \otimes (\mathbb{I}|s_2\rangle)$ was ein Tensorprodukt von Dingen ist, die wir bereits wissen (aus dem ersten Teil der Frage). Wir definieren die Operatoren im Tensorraum so, um ihnen genau diese Eigenschaft zu geben, nur auf einen der Zustände einzuwirken, die darin begründet ist, was Messungen sind. Messen wir nur den ersten Spin, lassen wir den zweiten unbeirrt. Was in Ihrem Beispiel angegeben ist, ist einfach eine Kurzschreibweise für die hier verwendete Tensornotation.

Danke für deine Antwort, du erwähnst das " $\hat{s}_{z_1}$ wirkt nur auf den ersten Spin und hat die gleichen Eigenschaften, als ob der zweite Spin nicht vorhanden wäre.“ Woher wissen Sie das ?
Ich habe es etwas erweitert, hoffentlich wird es jetzt klarer.
Wenn Sie den ersten Teil meiner Antwort einfach so akzeptieren können, dass die Operatoren nur auf ihre entsprechenden Drehungen reagieren (da der tatsächliche Hintergrund etwas zu fortgeschritten ist), sind Sie im Grunde mit dem Versuch, den Sie in Ihrer Frage gegeben haben, da. Sie müssen sich nur bewerben $\hat{s}_{z_n} |\uparrow \uparrow \rangle$ auf die erwähnte Weise.

Wie findet man den/die Eigenwert(e) für Joint-Spin-Operator-Zustände?

BRAND

Antworten (1)

Noah

BRAND

Noah

Noah

Eigenwerte eines Zwei-Teilchen-Systems in gekoppelter vs. ungekoppelter Basis

Problem der Spineigenwerte und Eigenvektoren. Ist das der richtige Lösungsweg?

Eigenwerte des Hamilton-Operators für ein System mit drei interagierenden Spin-Freiheitsgraden mit Spin-1/2

Matrixdarstellung Drehimpuls

Wie ist die Parität für die Bestimmung des Drehimpulses relevant?

Eigenwerte, Hermitesche Operatoren und Observablen in der Quantenmechanik

Hamiltonian des harmonischen Oszillators mit Spin-Term

Wie erhält man eine Vektorbeziehung für die Rabi-Frequenz?

Spin im Magnetfeld und Eigenwerte

Gibt es eine einfache Möglichkeit, die Eigenzustände des Erzeugungs- und Vernichtungsoperators in der QM zu finden?