Hamiltonian des harmonischen Oszillators mit Spin-Term

Wir haben den üblichen Hamilton-Operator für den 1D Harmonic Oscillator: H 0 ^ = P 2 ^ 2 M + 1 2 M ω X 2 ^

Jetzt wurde dem Hamiltonian ein neuer Term hinzugefügt, H ^ = H 0 ^ + μ B S z ^

Das System weist einen Spin-Freiheitsgrad mit auf S = 1 2

Was sind die neuen Eigenzustände des Hamiltonoperators und was sind die Energieeigenwerte? Die stationären Zustände haben wir mit bezeichnet | N , S z ⟩ und die Nicht-Spin-Eigenwerte wie üblich E = H ω ( N + 1 / 2 )

Kann mir jemand bei dieser Frage weiterhelfen? Ich vermute, dass sich die Eigenzustände nicht ändern, und dann ist es einfach, die Eigenwerte zu finden, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies richtig ist (oder warum es richtig wäre).

Hallo, wenn Sie mit Eigenzuständen die Zustände meinen | N , S z ⟩ (Sie können \rangle eingeben, um ein schöneres Ket zu erzeugen), dann haben Sie Recht. Versuchen Sie einfach, mit Ihrem Hamiltonian auf diese Zustände einzuwirken (und erinnern Sie sich an die Definition eines Eigenzustands).
Danke, Ket sortiert! Warum ändern sich die Eigenzustände also genau mit dem hinzugefügten Term nicht? Das ist der Punkt, über den ich stolpere, denke ich.
Ok, ich schreibe eine Antwort.

Antworten (2)

Hier ist die genaue Behandlung zur Bestimmung der Eigenvektoren des vollständigen Hamilton-Operators. Sie werden wahrscheinlich die beiden Posts in Physics.SE, auf die ich am Ende verlinke, nützlich finden, um dieses Zeug zu verstehen (was im Grunde darauf hinausläuft, Tensorprodukte zu verstehen):

Lassen H 0 bezeichnen den harmonischen Oszillator Hilbertraum und H 1 / 2 den Spin-Hilbert-Raum bezeichnen, dann ist der gesamte Hilbert-Raum des Systems ihr Tensorprodukt H = H 0 ⊗ H 1 / 2 . Die Notation, die Sie hier verwenden, ist eigentlich eine Abkürzung für die Definition des gesamten Hamilton-Operators als Operator H

H ^ = H ^ 0 ⊗ ICH 1 / 2 + μ B ICH 0 ⊗ S ^ z
Wo ICH 0 der Identitätsoperator im Hilbert-Raum des harmonischen Oszillators ist, und ICH 1 / 2 ist der Identitätsoperator im Spin-Hilbert-Raum. Wenn wir definieren
H ^ 0 | N ⟩ = E N | N ⟩ , S ^ z | S z ⟩ = ℏ S z | S z ⟩
dann die Staaten | N ⟩ bilden eine Grundlage für H 0 bestehend aus Eigenvektoren von H 0 und die Staaten | S z ⟩ bilden eine Grundlage für H 1 / 2 bestehend aus Eigenvektoren von S ^ z . Wenn wir definieren
| N , S z ⟩ = | N ⟩ ⊗ | S z ⟩
Dann ist es ein Standardergebnis für Tensorprodukte von Hilbert-Räumen, dass die Zustände | N , S z ⟩ bilden eine Basis für den gesamten Hilbertraum H = H 0 ⊗ H 1 / 2 vom System. Außerdem kann man anhand dieser Definitionen zeigen (was Sie wahrscheinlich schon im Wesentlichen durch die obigen Kommentare getan haben).
H ^ | N , S z ⟩ = ( E N + ℏ μ B S z ) | N , S z ⟩
Damit sind die Zustände eine Basis für den gesamten Hilbertraum H bestehend aus Eigenvektoren von H . Wir haben daher festgestellt, dass die von Ihnen ursprünglich niedergeschriebenen "stationären Zustände", wenn sie mathematisch korrekt interpretiert werden, nachweislich die Eigenzustände des vollständigen Hamilton-Operators sind.

Weitere nützliche Beiträge:

  1. Wie man mit dem Punktprodukt für Spinmatrizen umgeht

  2. Sollte es offensichtlich sein, dass unabhängige Quantenzustände durch Bilden des Tensorprodukts zusammengesetzt werden?

zusammen mit allem anderen, was Sie über Tensorprodukte finden.

Wow, wie viele Dinge passieren können, während Sie eine Antwort eingeben.)
Ja. Wenn ich Ihren Kommentar früher gesehen hätte, hätte ich Ihnen gesagt, dass ich mit der Antwort fast fertig bin. In jedem Fall könnte Ihre Präsentation für Menschen ansprechender sein, die beim Hören des Ausdrucks „Tensorprodukt“ zusammenzucken.
@joshphysics, Sie haben die Identitätsoperatoren ein wenig verwechselt. Ja, das Tensorprodukt ist ein mathematischerer Weg. Ich denke jedoch, dass es die Physik ein wenig behindern kann. Aus meiner Sicht wählen Sie zuerst ein System aus, bestimmen dann einen vollständigen Satz pendelnder Observablen und ordnen ihm dann einen Hilbert-Raum zu. Und dann stellt sich heraus, dass es sich um ein Tensorprodukt handelt.
@PeterKravchuk Danke; Ich hatte vergessen, dass ich die Notation gewechselt hatte. Ich habe immer festgestellt, dass Tensor-Produkte mein physikalisches Verständnis verbessert haben. Ich denke insbesondere, dass sie zur Intuition beitragen, warum die Dimension des vollen Hilbert-Raums (in gewissem Sinne als Produkt von Dimensionen) in der Weise zunimmt, wie sie es tut. Sie machen sicherlich gute Punkte, und ich hoffe, die Leute lesen beide Antworten.

Zuallererst sind Zustände des spinlosen Oszillators | N ⟩ so dass:

H 0 | N ⟩ = E N | N ⟩ = ℏ ω ( N + 1 / 2 ) | N ⟩
Dann führst du den Spin ein S z , also haben Sie jetzt einen anderen Zustandsraum – Sie haben mehr Freiheitsgrade, Sie sollten nicht nur die Energie angeben, sondern auch den Spin. In diesem Bereich können Sie eine Basis auswählen | N , S z ⟩ so dass
H 0 | N , S z ⟩ = E N | N , S z ⟩ S z | N , S z ⟩ = ℏ S z | N , S z ⟩
Sie beschäftigen sich jetzt mit den Eigenzuständen des Operators H = H 0 + μ B S z . Versuchen wir einfach, auf unserer Grundlage damit zu handeln:
H | N , S z ⟩ = ( H 0 + μ B S z ) | N , S z ⟩ = H 0 | N , S z ⟩ + μ B S z | N , S z ⟩ = = E N | N , S z ⟩ + ℏ μ B S z | N , S z ⟩ = ( E N + ℏ μ B S z ) | N , S z ⟩
Es stellt sich also heraus | N , S z ⟩ ist ein Eigenzustand von H mit Eigenwert E N + ℏ μ B S z . Sobald diese Zustände eine Basis bilden, gibt es keine anderen unabhängigen Eigenzustände mehr.

Hamiltonian des harmonischen Oszillators mit Spin-Term
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