Berechnung des Erwartungswerts des Spins [geschlossen]

Question

Berechnung des Erwartungswerts des Spins [geschlossen]

Ausschreibung

Betrachten Sie den Zustandsraum mit einer Basis, die durch die Eigenzustände des Operators gebildet wird $\hat{S}_z$ . Für den Staat $|\phi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|+\rangle_z-\frac{1}{\sqrt2}|-\rangle_z$ , was ist der Wert von $\langle\hat{S}_x\rangle$ ?

Ich habe absolut keine Ahnung, wie man das macht. Ich verstehe nicht einmal ganz den Ausdruck von $|\phi\rangle$ selbst. Wie könnte dies geschehen?

EDIT: Dank Asafs Antwort konnte ich das Thema besser verstehen. Der Einfachheit halber schreibe ich einfach $|+\rangle$ anstatt $|+\rangle_z$ Und $|-\rangle$ anstatt $|-\rangle_z$ . Also habe ich folgendes gemacht:

⟨ ϕ | {\hat{S}}_{X} | ϕ ⟩ = (\frac{1}{\sqrt{2}} ⟨ + | - \frac{1}{\sqrt{2}} ⟨ - |) (\frac{1}{\sqrt{2}} {\hat{S}}_{X} | + ⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} {\hat{S}}_{X} | - ⟩) = (\frac{1}{\sqrt{2}} ⟨ + | - \frac{1}{\sqrt{2}} ⟨ - |) (\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{ℏ}{2} | - ⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{ℏ}{2} | + ⟩) = \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} ⟨ + | - ⟩ - \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} ⟨ + | + ⟩ - \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} ⟨ - | - ⟩ + \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} ⟨ - | + ⟩ = - \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} - \frac{1}{2} \frac{ℏ}{2} = - \frac{ℏ}{2}

$\langle\phi|\hat{S}_x|\phi\rangle=\left(\frac{1}{\sqrt2}\langle+|-\frac{1}{\sqrt2}\langle-|\right)\left(\frac{1}{\sqrt2}\hat{S}_x|+\rangle-\frac{1}{\sqrt2}\hat{S}_x|-\rangle\right) =\left(\frac{1}{\sqrt2}\langle+|-\frac{1}{\sqrt2}\langle-|\right) \left(\frac{1}{\sqrt2}\frac{\hbar}{2}|-\rangle-\frac{1}{\sqrt2}\frac{\hbar}{2}|+\rangle\right) =\frac12\frac{\hbar}{2}\langle+|-\rangle-\frac12\frac{\hbar}{2}\langle+|+\rangle-\frac12\frac{\hbar}{2}\langle-|-\rangle+\frac12\frac{\hbar}{2}\langle-|+\rangle=-\frac12\frac{\hbar}{2}-\frac12\frac{\hbar}{2}=-\frac{\hbar}{2}$

Aber ich weiß nicht, ob das so richtig ist. Das hätte ich so erwartet $|\phi\rangle$ hat nur Spinkomponenten drin $z$ , wäre der Spin in einer anderen Achse $0$ . Habe ich bei den Berechnungen etwas falsch gemacht oder ist das richtig, aber ich verstehe das Konzept falsch?

WillO

Tipp: Versuchen Sie es mit dem Schreiben

| + ⟩_{z}

$|+\rangle_z$ Und

| - ⟩_{z}

$|-\rangle_z$ als Linearkombinationen von

| + ⟩_{x}

$|+\rangle_x$ Und

| - ⟩_{x}

$|-\rangle_x$ .

Ausschreibung

@WillO Soll ich die Pauli-Matrizen verwenden, um die Basis der Vektoren zu ändern? Ich habe keine Übung dieser Art gefunden, also bin ich ziemlich verloren

Asaf

Sie haben die richtige Antwort, ich werde meine erweitern, um Ihnen bei der Interpretation des Ergebnisses zu helfen.

Antworten (2)

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Tipp: Versuchen Sie es mit dem Schreiben $|+\rangle_z$ Und $|-\rangle_z$ als Linearkombinationen von $|+\rangle_x$ Und $|-\rangle_x$ .
@WillO Soll ich die Pauli-Matrizen verwenden, um die Basis der Vektoren zu ändern? Ich habe keine Übung dieser Art gefunden, also bin ich ziemlich verloren
Sie haben die richtige Antwort, ich werde meine erweitern, um Ihnen bei der Interpretation des Ergebnisses zu helfen.

Asaf · Answer 1

Lassen Sie uns zunächst den Ausdruck von klären $|\phi\rangle$ .

Die Keten $|+\rangle_z$ Und $|-\rangle_z$ sind Eigenvektoren von $\hat{S}_z$ so dass

{\hat{S}}_{z} | + ⟩_{z} = + \frac{ℏ}{2} | + ⟩_{z} {\hat{S}}_{z} | - ⟩_{z} = - \frac{ℏ}{2} | - ⟩_{z}

$\hat{S}_z |+\rangle_z = +\frac{\hbar}{2}|+\rangle_z \\ \hat{S}_z |-\rangle_z = -\frac{\hbar}{2}|-\rangle_z$ Dies bedeutet, dass im

{| + ⟩_{z} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), | - ⟩_{z} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})}

$\{|+\rangle_z = \left(\substack{1\\0}\right),|-\rangle_z=\left(\substack{0\\1}\right)\}$ Grundlage der

{\hat{S}}_{z}

$\hat{S}_z$ hat die Matrixdarstellung

{\hat{S}}_{z} = \frac{ℏ}{2} (\begin{array}{cc} + 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}) = \frac{ℏ}{2} (| + ⟩_{z} ⟨ + |_{z} - | - ⟩_{z} ⟨ - |_{z}) .

$\hat{S}_z = \frac{\hbar}{2}\left( \begin{array}{cc} +1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right) = \frac{\hbar}{2}\left(|+\rangle_z\langle+|_z-|-\rangle_z\langle-|_z\right).$

Jetzt die $\hat{S}_x$ hat die folgende Matrixdarstellung

{\hat{S}}_{X} = \frac{ℏ}{2} (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = \frac{ℏ}{2} (| + ⟩_{z} ⟨ - |_{z} + | - ⟩_{z} ⟨ + |_{z})

$\hat{S}_x = \frac{\hbar}{2}\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) = \frac{\hbar}{2}\left(|+\rangle_z\langle-|_z+|-\rangle_z\langle+|_z\right)$

Berechnen $\langle\phi|\hat{S}_x|\phi\rangle$ Sie können jetzt alles ersetzen und finden.

Aktualisieren:

Um das Ergebnis zu interpretieren, stellen Sie sich das so vor: Ein Eigenzustand von $\hat{S}_z$ hat eine gut definierte $z$ Komponente des Drehimpulses $\vec{S}$ aber du kennst die Werte nicht $x$ Und $y$ Komponenten. Tatsächlich können Sie es nicht wissen, weil es ein Unsicherheitsprinzip gibt, das dies verhindert.

Es funktioniert wie auf diesem Bild. Wenn der Staat ist $|+\rangle$ , Du weißt, dass $\vec{S}$ ist irgendwo im oberen Kegel, aber man kann nicht genau wissen wo. Gleiches gilt für $|-\rangle$ und der untere Kegel.

Nun, wenn Sie einen Blick darauf werfen, werden Sie sehen, dass Ihr Zustand $|\phi\rangle$ eigentlich ein Eigenvektor des Operators ist $\hat{S}_x$ . Es ist in der Tat die $|-\rangle_x$ Zustand, so dass Sie es sich als einen Kegel vorstellen können, der in den zeigt $-x$ Richtung.

Ich bin mit dieser Spin-Notation noch nicht vertraut. Sollen das nicht die Eigenwerte sein? $\frac{\hbar}{2}$ Und $-\frac{\hbar}{2}$ ? Oder liege ich falsch?
Entschuldigung, Sie haben recht. Das habe ich der Einfachheit halber weggelassen.
Kein Problem, ich habe nur gefragt, danke. Eine andere Sache, versuche ich zu berechnen $\langle+|\hat{S}_x|+\rangle$ oder $\langle\phi|\hat{S}_x|\phi\rangle$ ?
Sie wollen $\langle\phi|\hat{S}_x|\phi\rangle$ . Ich habe hier nicht die vollständige Antwort geschrieben, damit Sie es herausfinden können. Ich werde aus Gründen der Übersichtlichkeit bearbeiten.
Ich werde meine Frage mit den Fortschritten bearbeiten, die ich bisher gemacht habe. Bitte korrigieren Sie mich, wenn Sie etwas falsch sehen

Martin Green · Answer 2

Ich frage mich, warum wir bei der Diskussion dieser Dinge so selten erwähnen, dass Sie diese Frage nicht beantworten können, ohne eine menschliche Konvention in Bezug auf die Kombination von Spinzuständen anzunehmen. Wenn wir die +/- z-Richtung als Nord- und Südpol annehmen, dann entspricht jeder Zustand mit gleichem Amplitudenquadrat in beiden Komponenten einem Spinor, der irgendwo zum Äquator zeigt. Könnte die x-Richtung sein, könnte die y-Richtung sein, aber irgendwo am Äquator. Um genau zu sagen, in welche Richtung, müssen Sie eine menschliche Konvention in Bezug auf das relative komplexe Verhältnis der beiden Amplituden annehmen. Auf diese Frage gibt es auf der Grundlage der reinen Physik keine an sich richtige Antwort.

Ich denke, in diesem Fall liegt es daran, dass die Konvention sehr gut etabliert ist und weit verbreitet ist. Wenn wir bei den Standard-Pauli-Matrizen bleiben, ist alles fertig.

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