Missverständnis bei sequentieller Spin-Messung

$\let\a=\alpha \let\b=\beta \def\ket#1{|#1\rangle} \def\braket#1#2{\langle#1|#2\rangle} \def\half{{\textstyle{1 \over 2}}}$

Offensichtlich funktioniert es nicht, einfach die ursprüngliche Wellenfunktion mit den Operatoren SzSxSz zu multiplizieren, aber warum? Warum ist das grundlegend falsch?

Ganz einfach, weil das Messen einer Observablen bei einem gegebenen Zustand nicht bedeutet, den Operator auf den Zustandsvektor anzuwenden. Erinnern wir Sie an das grundlegende QM-Postulat bezüglich der Messung:

Die Messung des Beobachtbaren$A$auf Zustand$\ket s$ergibt als Ergebnis einen Eigenwert$a$von$A$und belässt das System im entsprechenden Eigenzustand$\ket a$von$A$. Jeder Eigenwert kann erhalten werden, jeder mit Wahrscheinlichkeit$|\braket as|^2$. (Ich habe die einfachste Form des Postulats angegeben, das für nicht entartete Eigenwerte gilt.)

Wenden wir es auf unseren Fall an. Das anfängliche Ket ist

Messung von$s_z$in diesem Zustand verlässt das System in einem von zwei Zuständen:

• $\ket{z+}$mit Wahrscheinlichkeit$|\a|^2$
• $\ket{z-}$mit Wahrscheinlichkeit$|\b|^2.$

Nun zur Messung von$s_x$An$\ket{z+}$. Ergebnisse sind

• $\ket{x+}$mit Wahrscheinlichkeit$\half$
• $\ket{x-}$mit Wahrscheinlichkeit$\half$

und das gleiche passiert für$\ket{z+}$. Daher nach dem Messen$s_x$Wir haben vielleicht

• $\ket{x+}$mit Wahrscheinlichkeit$\half\,(|\a|^2 + |\b|^2) = \half$
• $\ket{x-}$mit Wahrscheinlichkeit$\half\,(|\a|^2 + |\b|^2) = \half.$

Ich überlasse es Ihnen, die Übung zu beenden.