Berechnung von ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle und ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle für die Wellenfunktion [geschlossen]

Gegeben sei die Wellenfunktion

ψ ( X ) = A exp ⁡ [ − A ( M X 2 ℏ + ich T ) ]
Ich möchte rechnen σ P .

⟨ P ⟩ = ∫ ψ ⋆ ( ℏ ich ∂ ∂ X ) ψ D X = 2 ich M A A 2 ∫ X e − k X 2 D X = 0
da der Integrand ungerade ist. (Ich lasse k = 2 A M ℏ )

Ähnlich,

⟨ P 2 ⟩ = ∫ ψ ⋆ ( ℏ ich ∂ ∂ X ) 2 ψ D X = − 2 A 2 M A ℏ [ ∫ k X 2 e − k X 2 D X − ∫ e − k X 2 D X ] = − 2 A 2 M A ℏ [ 1 2 π k − 1 2 π k ] = 0

Aber impliziert das nicht σ P = ⟨ P ^ 2 ⟩ − ⟨ P ^ ⟩ 2 = 0 ?

Ich denke, dass ich einen mathematischen Fehler gemacht haben muss, weil dieses Ergebnis in seiner jetzigen Form gegen die Unschärferelation verstoßen würde, wie ich es verstehe: σ X σ P ≥ ℏ 2

Aber ich sehe nichts falsches. Tut σ P = 0 Verletzung der Unschärferelation?

Die Integrale, die Sie haben, sehen gut aus, aber Sie haben eines davon mit einem Faktor heraus ausgewertet.
Sie müssen auch die Normalisierungskonstante finden, A , um den Wert von zu erhalten σ P .

Antworten (2)

Sie haben einen Fehler bei der Berechnung von ⟨p2⟩ gemacht. Sie haben zwei Integrale ausgewertet, von denen das zweite um den Faktor zwei abweicht.

Ah: ∫ − ∞ ∞ e − k X 2 D X = π k

In meiner Berechnung ist ein Fehler.

In der Tat: ∫ − ∞ ∞ e − k X 2 D X = π k

So

⟨ P ^ 2 ⟩ = − 2 A 2 M A ℏ [ − 1 2 π k ] = M A ℏ
gegeben das A 2 = 2 A M π ℏ wie unter Verwendung der Normalisierungsbedingung berechnet.

Damit kann gerechnet werden

σ P = M A ℏ
Das lässt sich ähnlich zeigen
⟨ X 2 ⟩ = ℏ 4 M A
Und
⟨ X ⟩ = 0
So
σ X = ℏ 4 M A
und schlussendlich:
σ P σ X = ℏ 2 M A 4 M A = ℏ 2 ≥ ℏ 2
was mit der Unschärferelation übereinstimmt.

Berechnung von ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle und ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle für die Wellenfunktion [geschlossen]
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