Wie löse ich diese Integrale von Wellenfunktion und Operator?

Sie wollen

$$\langle\hat A\rangle:=\int \Psi^*(r,t)\hat A \Psi(r,t)\, d^3r,$$

und da$\Psi(r,t)=e^{i(kr-wt)}$du hast

$(\Psi(r,t))^*\hat p\Psi(r,t)=\\ =(e^{i(kr-wt)})^*(-i\hbar \nabla)e^{i(kr-wt)}\\ =e^{-i(kr-wt)}(-i\hbar (ik))e^{i(kr-wt)}\\ =\hbar k,$

und so

$\langle\hat p\rangle=\\ =\int \Psi^*(r,t)\hat p \Psi(r,t)\, d^3r\\ =\int \Psi^*(r,t)(\hbar k) \Psi(r,t)\, d^3r\\ =\hbar k \int \Psi^*(r,t)1\Psi(r,t)\, d^3r\\ =\hbar k \langle\hat 1\rangle,$

und ähnlich

$\langle\hat p^2\rangle=(\hbar k)^2 \langle\hat 1\rangle,$

was auch impliziert

$\langle\hat p\rangle^2=\langle\hat p^2\rangle\langle\hat 1\rangle.$

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Die übliche Lehre ist, dass die Wellenfunktion ein normierter Eigenzustand ist, dh

$$\int \Psi^*(r,t)\Psi(r,t)\, d^3r=1,$$ was bedeutet $\langle\hat 1\rangle$ist gleich der Zahl 1. Das Problem ist, dass die Norm der ebenen Welle $\Psi(r,t)=e^{i(kr-wt)}$, für die der Integrand ist $\Psi^*(r,t)\Psi(r,t)=e^0=1$, divergiert für ein Integral $\int d^3r$über ein unendliches Volumen.

Ich wäre versucht, einfach zu sagen, Sie sollten definieren

$$\langle\hat A\rangle:=\frac{\int \Psi^*(r,t)\hat A \Psi(r,t)\, d^3r}{\int \Psi^*(r,t)\Psi(r,t)\, d^3r},$$

wie damals in diesem Fall$\langle\hat p\rangle:=\tfrac{\hbar k\langle\hat 1\rangle}{\langle\hat 1\rangle}$und damit das Objekt$\langle\hat 1\rangle$in diesem Fall bei der Berechnung formal herausgerechnet. Aber im Allgemeinen ist das Problem komplizierter. Vielleicht finden Sie diesen Thread aufschlussreich, und es gibt sicherlich andere auf Physics.SE zu solchen Themen.