Übersetzungsoperator und Positionsoperator

Ich bin etwas verwirrt über den Übersetzungs- und Positionsoperator und hoffe auf eine Klärung.

Lassen X ^ sei der Stellenoperator, der erfüllt X ^ | X ⟩ = X | X ⟩ Und T ^ A der Übersetzungsoperator, der erfüllt T ^ A | X ⟩ = | X + A ⟩ . Damit ist bekannt, dass [ X ^ , T ^ A ] ≠ 0 , seit T ^ A X ^ | X ⟩ = X | X + A ⟩ , wohingegen X ^ T ^ A | X ⟩ = ( X + A ) | X + A ⟩ .

Davon abgesehen bin ich verwirrt über die gleichen Operatoren in der Positionsdarstellung. Lassen ψ ( X ) sei eine beliebige Wellenfunktion, die die Schrödinger-Gleichung löst.

Die gleichen Ergebnisse in der Positionsdarstellung zu reproduzieren

T ^ A X ^ ψ ( X ) = T ^ A X ψ ( X ) = X T ^ A ψ ( X ) = X ψ ( X + A )

Und

X ^ T ^ A ψ ( X ) = X ^ ψ ( X + A ) = ( X + A ) ψ ( X + A )

muss wahr sein.

Allerdings dachte ich bisher, dass der Positionsoperator in der Positionsdarstellung immer "nur x" ist. In diesem Fall würden wir bekommen

T ^ A X ^ ψ ( X ) = T ^ A X ψ ( X ) = ( X + A ) ψ ( X + A )

Und

X ^ T ^ A ψ ( X ) = X ψ ( X + A ) = X ψ ( X + A )

was nicht zu den eingangs erwähnten verallgemeinerten Aussagen passt.

Abschließend noch einmal: Welches - wenn überhaupt - Ergebnis ist das richtige und wie genau ist der Ortsoperator für die Ortsdarstellung definiert?

Antworten (2)

Zunächst eine kurze Klarstellung. Wenn Sie die Aktion von definieren T A auf der Position ket | X ⟩ als T A | X ⟩ = | X + A ⟩ , dann hätte man das

T A | ψ ⟩ = ∫ D X   ψ ( X ) T A | X ⟩ = ∫ D X   ψ ( X ) | X + A ⟩ = ∫ D X   ψ ( X − A ) | X ⟩
Ähnlich,
T A X | ψ ⟩ = ∫ D X   ψ ( X ) T A X | X ⟩ = ∫ D X   ψ ( X ) X T A | X ⟩ = ∫ D X   ψ ( X ) X | X + A ⟩
= ∫ D X   ( X − A ) ψ ( X − A ) | X ⟩
wohingegen
X T A ψ ⟩ = ∫ D X   ψ ( X − A ) X | X ⟩ = ∫ D X   X ψ ( X − A ) | X ⟩

Das Vermeiden der Klammernotation und das Definieren der Aktion dieser Operatoren direkt auf der Ebene der Wellenfunktion würde zu einem Ergebnis führen

[ ( T A X ) ψ ] ( X ) = ( X − A ) ψ ( X − A ) [ ( X T A ) ψ ] ( X ) = X ψ ( X − A )

Die erste Gleichheit könnte man unter Zulassen verstehen X ψ ≡ ϕ , So ϕ ( X ) = X ψ ( X ) . Von dort Anwendung von T A ergäbe ( T A ϕ ) ( X ) = ϕ ( X − A ) = ( X − A ) ψ ( X − A ) .

Insgesamt denke ich, dass es wichtig ist, sich daran zu erinnern ψ ist eine Funktion während ψ ( X ) eine Zahl ist, und Operatoren wirken auf Funktionen (in der Positionsdarstellung). Fallbeispiel,

T ^ A X ^ ψ ( X ) = T ^ A X ψ ( X ) = X T ^ A ψ ( X ) = X ψ ( X + A )

ist falsch. Es sollte als Handeln verstanden werden ψ mit X ^ , dann auf das Ergebnis mit reagieren T A , und erst dann das Ergebnis bei auswerten X . Mit anderen Worten, als ( T ^ A X ^ ψ ) ( X ) . Das macht es viel einfacher, das zu verstehen T A verschiebt das Argument von X ^ ψ :

( T ^ A X ^ ψ ) ( X ) = ( X ^ ψ ) ( X − A ) = ( X − A ) ψ ( X − A )
Weil ( X ^ ψ ) ( u ) = u ψ ( u ) .

In der Positionsdarstellung müssen (oder können) wir die Aktion auswerten T A auf dem BH ⟨ X | . Zu diesem Zweck beachten Sie das

⟨ X | T A = ∫ D j ⟨ X | T A | j ⟩ ⟨ j | = ∫ D j ⟨ X | j + A ⟩ ⟨ j | = ⟨ X − A | ,
wobei wir die Vollständigkeitsrelation verwendet haben ∫ D X | X ⟩ ⟨ X | = ICH Und ⟨ X | j ⟩ = δ ( X − j ) .

Lassen Sie uns nun definieren

ψ ( X ) ≡ ⟨ X | ψ ⟩

Und

( Ö ψ ) ( X ) ≡ ⟨ X | Ö | ψ ⟩
für einige Betreiber Ö und Zustand | ψ ⟩ . Dann
( T A X ψ ) ( X ) = ⟨ X | T A X | ψ ⟩ = ⟨ X − A | X | ψ ⟩ = ( X − A ) ⟨ X − A | ψ ⟩ = ( X − A ) ψ ( X − A ) ,
während
( X T A ψ ) ( X ) = ⟨ X | X T A | ψ ⟩ = X ⟨ X | T A | ψ ⟩ = X ⟨ X − A | ψ ⟩ = X ψ ( X − A ) .

Das zeigt sich schließlich

⟨ X | [ T A , X ] | ψ ⟩ = ( X − A ) ψ ( X − A ) − X ψ ( X − A ) = − A ψ ( X − A ) = − A ⟨ X − A | ψ ⟩ = − A ⟨ X | T A | ψ ⟩ .
Da sollte dies für alle gelten | ψ ⟩ (in einer bestimmten Domäne) und ⟨ X | , wir fassen zusammen
[ T A , X ] = − A T A .

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