Wave funktioniert, wenn xxx ins Unendliche geht

Dieses Problem tauchte auf, als ich einige QM-Übungen durchging:

Ich wurde gebeten, den Kommutator zu finden$[A,B]$Wo$A,B$sind definiert als

$$A\psi(x)=x\frac{\partial }{\partial x}\psi(x),$$

$$B\psi(x)=\int^x_{\infty}\psi(x') dx'.$$

Also haben wir$(AB-BA)\psi(x)=x\frac{\partial }{\partial x}\int^x_{\infty}\psi(x') dx' - \int^x_{\infty}x'\frac{\partial }{\partial x'}\psi(x')dx'$

Wir können die partielle Integration über den zweiten Term verwenden, um zu erhalten

$[A,B]\psi(x)=x\frac{\partial }{\partial x}\int^x_{\infty}\psi(x') dx' - x'\psi(x')|^x_{\infty} + \int^x_{\infty}\psi(x') dx'$

Nachdem ich mir die Lösungen angesehen habe, weiß ich, dass dies vereinfacht wird

$x\psi(x) -x\psi(x) + \int^x_{\infty}\psi(x') dx'=B\psi(x)$

Ich verstehe nicht, wie die ersten und zweiten Terme vereinfacht wurden. Ich vermute, dass die Normalisierungsanforderung das$\int^{\infty}_{-\infty} |\psi(x) |^2dx=1$impliziert, dass$\psi(x)\rightarrow 0$als$x \rightarrow \infty$, obwohl ich nicht sicher bin, wie. Dies würde das mittelfristig ergeben$x'\psi(x')|^x_{\infty}=x\psi(x)-\infty\psi(\infty)$. Aber das zu schreiben ist nicht wirklich richtig iirc und zeigt nicht, warum sich der Ausdruck zu vereinfacht$x\psi(x)$. Das müsste ich zeigen$x'\psi(x')\rightarrow 0$als$x'\rightarrow \infty$. Aber woher weiß ich, dass dies für alle gilt$\psi$?

Ich habe ein ähnliches Problem für den ersten Begriff, wenn$\psi(x)$integriert sich in eine Funktion$\phi(x)$, dann müsste ich das zeigen$\phi(x)\rightarrow 0$als$x \rightarrow \infty$.