Woran erkenne ich, ob das Spektrum eines Operators im QM entartet ist?

$\renewcommand{ket}[1]{|#1\rangle}$Wie andere darauf hingewiesen haben, können Sie aufs Ganze gehen und die charakteristische Gleichung lösen$\text{det}(\hat{Q} - \lambda \hat{I})=0$und finden Sie wiederholte Lösungen für$\lambda$. Es gibt jedoch einen einfacheren, physikalisch intuitiveren Weg, um nach Entartung zu suchen: Suchen Sie nach Symmetrie.

Wenn ein Betreiber$\hat{Q}$eine Symmetrie hat gibt es einen "Symmetrieoperator"$\hat{S}$mit dem pendelt$\hat{Q}$

$$[\hat{Q}, \hat{S}] = 0\, .$$ Betrachten Sie einen Eigenvektor von $\hat{Q}$: $$\hat{Q}\ket{\Psi} = q \ket{\Psi} \, .$$ $\hat{S}\ket{\Psi}$ist auch ein Eigenvektor mit demselben Eigenwert $$\hat{Q}(\hat{S}\ket{\Psi}) = \hat{S}(\hat{Q}\ket{\Psi}) = \hat{S}(q\ket{\Psi}) = q(\hat{S}\ket{\Psi})$$ Da wir nun zwei Vektoren gefunden haben, $\ket{\Psi}$Und $\hat{S}\ket{\Psi}$bei gleichem Eigenwert haben wir per Definition Entartung gefunden.

Natürlich zeigt dies nur dann wirklich Entartung, wenn$\hat{S}\ket{\Psi} \neq \ket{\Psi}$. Also zB wenn$\hat{S} = \hat{I}$Wir haben eigentlich nichts Interessantes gemacht (weil die Tatsache, dass$\hat{S}$pendelt mit der Identität ist trivial).

Wie auch immer, diese Konstruktion gibt Ihnen viel Intuition. Betrachten Sie den Fall, wo$\hat{Q}$ist der Impulsoperator zum Quadrat$\hat{p}^2$. Es ist offensichtlich, dass es dort eine Symmetrie gibt: Sie können nach links/rechts und drehen$\hat{p}^2$ändert sich nicht. Die Eigenvektoren von$\hat{p}^2$sind die ebenen Wellen$e^{ikx}$, also sagt Ihnen diese Symmetrieidee, dass diese ebene Welle mit der links/rechts gespiegelten Funktion entartet sein sollte$e^{-ikx}$. Sie können leicht überprüfen, ob dies korrekt ist.

Diese Idee funktioniert für jeden Fall, in dem Sie lineare Operatoren haben und sich um die Entartung von Eigenwerten kümmern, nicht nur um quantenmechanische Probleme.

(Wenn jemand diese Antwort erweitern möchte, indem er einen detaillierteren Überblick über die Theorie oder weitere Beispiele gibt, tun Sie dies bitte .)

Unter der Annahme, dass Ihr Operator ein Spektrum hat, das aus isolierten Punkten besteht, können Sie nach allen unabhängigen Lösungen der Eigenwertgleichung suchen

$$(Q-\lambda I)\xi = 0$$ Lassen Sie diese Lösungen einen Vektorraum erzeugen $V_\lambda$und dann die Dimension berechnen $V_\lambda$. Wenn er größer als 1 ist, dann der Eigenwert $\lambda$ist entartet.

Wie Phoenix87 sagte, müssen Sie das zugehörige Eigenwertproblem lösen.$\lambda$ist genau dann ein Eigenwert$\hat{Q}|\Psi>=\lambda|\Psi>$. Wenn Sie einen Matrixausdruck für den Operator haben$\hat{Q}$, dann besteht der übliche Weg zur Lösung des Problems darin, die obige Gleichung wie Phoenix87 zu schreiben und alles auf die linke Seite zu schreiben:

$$(\hat{Q}-\lambda\hat{I})|\Psi>=0\iff\det(\hat{Q}-\lambda\hat{I})=0$$

Mit der obigen Gleichung können Sie die berechnen$\lambda$Werte, vereinfachen die Determinante und machen das Ergebnis gleich 0. Das Spektrum wird degeneriert, wenn Sie so etwas finden$(\lambda-1)^2(\lambda-2)=0$weil lösung$\lambda=1$taucht zweimal auf. (Und der zugehörige Unterraum wird zweidimensional sein).

Wenn der Operator einen Differentialausdruck hat, dann empfehle ich zu schreiben$|\Psi>$als Funktion und lösen das Eigenwertproblem als Differentialgleichung. In dem Beispiel, das Sie verwendet haben,

$$\hat{Q}|\Psi>=\lambda|\Psi>\Rightarrow i \frac{d^2\Psi(\phi)}{d\phi^2}=\lambda\Psi(\phi)$$

Denken Sie daran, dass die Funktion beschränkt sein muss:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}{|\Psi(\phi)|^2d\phi<+\infty}$$

Außerdem können Sie Randbedingungen anwenden. Dies führt in der Regel zu einer Quantisierung von$\lambda$, das sind die Eigenwerte. Sobald Sie die Eigenwerte haben, müssen Sie sich die Eigenfunktionen ansehen und die Dimension der zugehörigen Unterräume überprüfen$\lambda$.