Kontinuitätsbereich für Impulsoperator

Question

Kontinuitätsbereich für Impulsoperator

LG06

Ich weiß, dass dies im Wesentlichen eine mathematische Frage ist, aber ich habe keine Antwort auf Mathematik SE erhalten. Außerdem hat es eine direkte Anwendung in der Physik, also dachte ich, das hier auch zu fragen.

Der Impulsoperator in einer Dimension in der Quantenmechanik ist $P=-i\frac{d}{dx}$ (mit $\hbar=1$ ). Betrachten Sie es als Operator on $L_2(0,2\pi)$ , dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf $(0,2\pi)$ . Es ist tatsächlich nicht kontinuierlich, wenn ich die Sequenz betrachte

G_{N} (X) = \frac{e^{ich N X}}{\sqrt{2 π N}}

$g_n(x)=\frac{e^{inx}}{\sqrt{2\pi n}}$ es ist eine Cauchy-Folge, aber

{P g_{n}}_{n}

$\{Pg_n\}_n$ konvergiert nicht.

Ich suche eine Domain wo $P$ ist ein stetiges Funktional. Mein Professor hat mir das Beispiel gegeben

D_{P} = {φ \in L_{2} (0, 2 π) : φ (0) = φ (2 π)}

$D_P=\{\varphi \in L_2(0,2\pi):\varphi(0)=\varphi(2\pi) \}$ aber überzeugt bin ich da nicht wenn ich die funktion betrachte

ψ

$\psi$

{\begin{cases} - \frac{X}{\sqrt{π}} + \sqrt{π}, 0 \leq X < π \\ \sqrt{X - π}, π \leq X \leq 2 π \end{cases}

$\begin{equation} \begin{cases} -\frac{x}{\sqrt{\pi}}+\sqrt{\pi},\hspace{0.5cm} 0\leq x<\pi\\\sqrt{x-\pi},\hspace{0.5cm} \pi\leq x \leq 2\pi \end{cases} \end{equation}$ es gehört

D_{P}

$D_P$ , aber wenn ich mich bewerbe

P

$P$ darauf erhalte ich

{\begin{cases} \frac{ich}{\sqrt{π}}, 0 \leq X < π \\ - \frac{ich}{2 \sqrt{X - π}}, π \leq X \leq 2 π \end{cases}

$\begin{equation} \begin{cases} \frac{i}{\sqrt{\pi}},\hspace{0.5cm} 0\leq x<\pi\\ -\frac{i}{2\sqrt{x-\pi}},\hspace{0.5cm} \pi\leq x \leq 2\pi \end{cases} \end{equation}$ das ist nicht quadratintegrierbar

(0, 2 π)

$(0,2\pi)$ .

Liege ich falsch? Wenn nicht, was ist eine korrekte Kontinuitätsdomäne für $P$ ?

QMechaniker

Cross-Posted-Formular math.stackexchange.com/q/660630/11127

Antworten (1)

Kontinuitätsbereich für Impulsoperator

Valter Moretti · Answer 1

Entschuldigung, die Antwort auf diese technische Frage erfordert etwas mathematische Technologie.

Der Raum, den Sie suchen, ist $H^1(\mathbb R)$ , der erste Sobolev - Hilbert - Raum . Es besteht aus den Funktionen in $L^2(\mathbb R)$ Zulassen der schwachen ersten Ableitung , dargestellt durch a $L^2$ Funktion wiederum.

$H^1(\mathbb R)$ ist ein komplexer Hilbert-Raum, wenn er mit dem Skalarprodukt ausgestattet ist:

⟨ ψ | ϕ ⟩ := \int_{R} \bar{ψ} (X) ϕ (X) D X + \int_{R} \bar{\frac{D ψ}{D X}} \frac{D ϕ}{D X} D X (1)

$\langle \psi| \phi \rangle := \int_{\mathbb R} \overline{\psi}(x) \phi(x) dx + \int_{\mathbb R} \overline{\frac{d\psi}{dx}} \frac{d\phi}{dx} dx\qquad (1)$ Wo

d / d x

$d/dx$ bezeichnet die schwache Ableitung (siehe unten).

Äquivalent, $H^1(\mathbb R)$ kann als Raum definiert werden $L^2$ Funktionen $\psi(x)$ deren Fourier (-Plancherel) transformieren $\hat{\psi}(k)$ endlich zugeben $L^2$ Norm in Bezug auf das Maß $(1+ k^2) ~ dk$ statt einfacher $dk$ .

In der Tat gilt, wo das Skalarprodukt das gleiche wie in (1) ist:

⟨ ψ | ϕ ⟩ := \int_{R} \bar{\hat{ψ}} (k) \hat{ϕ} (k) (1 + k^{2}) D k (2) .

$\langle \psi| \phi \rangle := \int_{\mathbb R} \overline{\hat{\psi}}(k) \hat{\phi}(k)(1+ k^2) dk \qquad (2)\:.$

Offensichtlich gilt auch: $H^1(\mathbb R)\subset L^2(\mathbb R, dx)$

Festhalten an der Arbeit im physikalisch sinnvollen Hilbert-Raum $L^2(\mathbb R, dx)$ für QM stellt sich heraus, dass $H^1(\mathbb R)$ ist der natürliche Bereich, in dem der Impulsoperator selbstadjungiert ist (nicht nur hermitesch oder symmetrisch). In diesem Hilbert-Raum ist jedoch der Impulsoperator, dessen korrekte Definition lautet :

P = - ich \frac{D}{D X} im schwachen Sinne und mit Domäne D (P) = H^{1} (R)

$P = -i \frac{d}{dx}\quad \mbox{in weak sense, and with domain $D(P)= H^1(\mathbb R)$}$

ist immer unbeschränkt, dh unstetig.

Also zu sehen $P$ als beschränkter (dh kontinuierlicher) Operator reicht es nicht aus, ihn auf einen geeigneten Bereich zu beschränken, sondern Sie müssen auch die Topologie (Norm) des Bereichs ändern , die von der des Einfachen ausgeht $L^2$ zu dem von $H^1(\mathbb R)$ . Die Topologie in der Co-Domäne bleibt die von $L^2$ .

ANMERKUNG 1 . Eine (messbare) Funktion $f: \mathbb R \to \mathbb C$ soll eine schwache Ableitung zulassen $\frac{df}{dx}=g$ , Wo $g$ ist eine andere (messbare) Funktion, wenn für alle $h: \mathbb R \to \mathbb C$ der Klasse $C^\infty$ und kompakt unterstützt, hat man:

\int_{R} F (X) \frac{D H}{D X} D X = - \int_{R} G (X) H (X) D X .

$\int_{\mathbb R} f(x) \frac{dh}{dx} dx = - \int_{\mathbb R} g(x) h(x) dx \:.$ Zum Beispiel

f (x) = | x |

$f(x)= |x|$ lässt keine Ableitung zu

x = 0

$x=0$ lässt jedoch eine schwache Ableitung zu, die durch gegeben ist

sgn (x)

$\mbox{sgn}(x)$ . Die Dirichlet-Funktion

d (x) = 1

$d(x) = 1$ Wenn

x

$x$ ist vernünftig

d (x) = 0

$d(x)= 0$ Wenn

x

$x$ is not rational lässt nirgendwo eine Ableitung zu, aber es lässt eine schwache Ableitung zu, die durch die Nullfunktion gegeben ist.

ANMERKUNG 2 . Beim Umgang mit dem Partikel in $[0,2\pi]$ die Situation ist analog. Der Selbstadjungiertheitsbereich von $P$ Ist $H^1((0,2\pi))$ Und $P$ ist wie zuvor definiert. Die einzige Änderung besteht darin, dass die Fourier-Rep. man muss Fourier-Reihen anstelle von Fourier-Transformationen verwenden. In diesem Fall die $H^1((0,2\pi))$ Skalarprodukt wird zu:

⟨ ψ | ϕ ⟩ = \sum_{N \in Z} \bar{ψ_{N}} ϕ_{N} (1 + N^{2}) .

$\langle \psi | \phi \rangle = \sum_{n \in \mathbb Z} \overline{\psi_n} \phi_n (1+ n^2)\:.$ Im Hilbertraum

H^{1} ((0, 2 π))

$H^1((0,2\pi))$ als Domäne und mit Werten in

L^{2}

$L^2$ ,

P

$P$ ist stetig, ansonsten ist sie wie üblich unbeschränkt.

Was an der Aussage Ihres Professors stimmt, ist, dass die Menge an $C^1$ Funktionen an $[0,2\pi]$ mit $f(0)= f(2\pi)$ ist darin enthalten $H^1((0,2\pi))$ .

Ich hätte nicht gedacht, dass diese so technischen Probleme so beliebt sind ...
Vielen Dank! Ich vermisse hier etwas Mathematik, aber ich glaube, ich habe es verstanden. Das ist wirklich nützlich und interessant für mich!
Ich bin verwirrt. Ist der letzte H^1 angeblich derselbe wie der erstgenannte? Dann denke ich, dass das nicht wahr sein kann. Ein beschränkter Operator muss ein beschränktes Spektrum haben. (Bei periodischer Randbedingung gehe ich von einem Punktspektrum aus, d. h. die Eigenwerte müssen begrenzt werden). Aber Eigenwerte ändern sich nicht, wenn Sie das Skalarprodukt ändern! Das Ändern eines Skalarprodukts allein kann also niemals einen Operator begrenzen (während die selbstadjungierte Eigenschaft beibehalten wird). Könnten Sie das näher erläutern?
Was ich geschrieben habe ist das $P: H^1 \to L^2$ (nicht $H^1$ ) ist begrenzt. Dies ist kein Operator, der über einem eindeutigen Hilbert-Raum definiert ist, sodass Sie die Standardergebnisse der Spektraltheorie nicht anwenden können.
Tatsächlich war es in meiner Antwort nicht klar, ich werde es verbessern.

Kontinuitätsbereich für Impulsoperator

LG06

QMechaniker

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Valter Moretti

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LG06

lalala

Valter Moretti

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