Warum sind Eigenräume eines hermiteschen Operators orthogonal zueinander? [geschlossen]

Alle Observablen der Wellenfunktion müssen hermitesche Form haben, was bedeutet, dass ihre Eigenwerte reell sein müssen, und Sie können immer eine orthogonale Basis aus den Eigenzuständen finden, die sich auf diese Werte beziehen, selbst wenn sie entartet sind.

Eine hermitische Matrix ist eine, die gleich ihrer hermiteschen Konjugation ist:

$$A=A^\dagger=\overline{A^T}$$

Wir können die Orthogonalität der Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix für unterschiedliche Eigenwerte beweisen:

Wir haben zwei Eigenvektoren, die sich auf unterschiedliche Eigenwerte beziehen

$$Av^i=\lambda_i v^i$$ $$Av^j=\lambda_j v^j$$

Wir nehmen das hermitesch Konjugierte von$\lambda_i$Fall, und arbeiten auf der rechten Seite$v^j$:

$$(v^i)^\dagger A^\dagger v^j = \overline{\lambda_i }(v^i)^\dagger v^j=\lambda_i (v^i)^\dagger v^j$$ Da die Eigenwerte reell sind.

Wir können die auch multiplizieren$\lambda_j$Fall auf der linken Seite von$(v^i)^\dagger$:

$$(v^i)^\dagger A v^j=\lambda_j (v^i)^\dagger v^j$$

Seit$A=A^\dagger$wir haben:

$$0=(\lambda_i-\lambda_j)(v^i)^\dagger v^j$$

Da die Eigenvektoren für unterschiedliche Werte sind,$\lambda_i≠\lambda_j$Dann$(v^i)^\dagger v^j=0$was Orthogonalität impliziert. Im Fall entarteter Eigenwerte können wir die Gram-Schmidt-Orthogonalisierung verwenden, um einen orthogonalen Basissatz zu erzeugen, da jede lineare Summe von Eigenvektoren eines Eigenwerts auch ein Eigenvektor dieses Werts ist.

Normalität folgt aus der Tatsache, dass wenn$v^i$ist ein Eigenvektor von$A$mit Eigenwert$\lambda_i$Dann$\alpha v^i$ist auch so, dass Sie diese Werte normalisieren können.