Orthogonalität summierter Wellenfunktionen

Problem. Ich weiß, dass die beiden Wellenfunktionen Ψ 1 Und Ψ 2 sind alle normalisiert und orthogonal. Ich möchte nun beweisen, dass dies dies impliziert Ψ 3 = Ψ 1 + Ψ 2 ist orthogonal zu Ψ 4 = Ψ 1 − Ψ 2 .

Meine naive Lösung. Aus den Räumlichkeiten wissen wir das

∫ − ∞ ∞ Ψ 1 ∗ Ψ 1 D X = ∫ − ∞ ∞ Ψ 2 ∗ Ψ 2 D X = 1
Und
∫ − ∞ ∞ Ψ 1 ∗ Ψ 2 D X = ∫ − ∞ ∞ Ψ 2 ∗ Ψ 1 D X = 0

Wir haben auch ( z 1 + z 2 ) ∗ = z 1 ∗ + z 2 ∗

∫ − ∞ ∞ Ψ 3 ∗ Ψ 4 D X = ∫ − ∞ ∞ ( Ψ 1 + Ψ 2 ) ∗ ( Ψ 1 − Ψ 2 ) D X = ∫ − ∞ ∞ ( Ψ 1 ∗ + Ψ 2 ∗ ) ( Ψ 1 − Ψ 2 ) D X = ∫ − ∞ ∞ ( Ψ 1 ∗ Ψ 1 − Ψ 1 ∗ Ψ 2 + Ψ 2 ∗ Ψ 1 − Ψ 2 ∗ Ψ 2 ) D X = 1 − 0 + 0 − 1 = 0 ,

was äquivalent zu dem ist, was wir beweisen wollten. Ist das ein legitimer Beweis? Gibt es einen einfacheren Weg, dies zu tun? Ich fürchte, ich habe immer noch nicht verstanden, wie sich Wellenfunktionen mathematisch verhalten, also habe ich hier vielleicht etwas sehr Offensichtliches übersehen.

Bearbeiten : Das Lösungshandbuch verwendet irgendwie Normalisierungsfaktoren für Ψ 3 Und Ψ 4 . Wie sind diese Faktoren, wenn Sie die genauen Funktionen nicht kennen? Und wie hängt das mit dem Konzept der Orthogonalität zusammen?

Ja, dafür braucht man Normierungsfaktoren ∫ | Ψ 3 | 2 D X = 1 , aber Ihr Beweis, so wie er steht, ist richtig. Sie haben ihr inneres Produkt direkt berechnet und festgestellt, dass es Null ist, daher orthogonale Vektoren.
Die Braket-Notation ist vielleicht einfacher, aber Ihre ist gut genug.
Ich verstehe nicht, warum ich brauchen würde ∫ | Ψ 3 | 2 D X = 1 . Und wie würde die Klammernotation helfen?
Sie werden wahrscheinlich später in Ihrem Kurs zur Dirac/Braket-Notation kommen. Aber es würde helfen, die Integrale in diesem Problem abzuschaffen.
Ich habe die Braket-Notation ein paar Mal gesehen, und ich denke, dass wir das hier zeigen wollen ⟨ Ψ 4 | Ψ 3 ⟩ = ⟨ Ψ 1 − Ψ 2 | Ψ 1 + Ψ 2 ⟩ = 0 , aber ich kann nicht wirklich sehen, wie ich ohne das Integral weitermachen soll.
@PoetryInMotion: Die zugrunde liegende Annahme ist, dass die Symbole "plus ( + )" und "minus ( − )", die Sie früher ausgedrückt haben Ψ 3 Und Ψ 4 in Bezug auf die Zustände der "orthonormalen Basis". Ψ 1 Und Ψ 2 stellen tatsächlich die entsprechenden arithmetischen Operationen zwischen den komplexen Zahlenwerten innerer Produkte dar. Folglich: ⟨ Ψ 1 − Ψ 2 | Ψ 1 + Ψ 2 ⟩ =(bedeutet dasselbe wie)= ⟨ Ψ 1 | Ψ 1 ⟩ + ⟨ Ψ 1 | Ψ 2 ⟩ − ⟨ Ψ 2 | Ψ 1 ⟩ − ⟨ Ψ 2 | Ψ 2 ⟩ die leicht weiter ausgewertet werden können (sein 0 )

Antworten (1)

Dieses Problem könnte einfacher durch die Anwendung der linearen Algebra gelöst werden. Das wollen Sie beweisen

⟨ ψ 1 − ψ 2 | ψ 1 + ψ 2 ⟩ = 0

Das Skalarprodukt ist analog zum Skalarprodukt der linearen Algebra und distributiv. Verteilen, das finden wir

⟨ ψ 1 − ψ 2 | ψ 1 + ψ 2 ⟩ = ⟨ ψ 1 − ψ 2 | ψ 1 ⟩ + ⟨ ψ 1 − ψ 2 | ψ 2 ⟩ = ⟨ ψ 1 | ψ 1 ⟩ − ⟨ ψ 2 | ψ 1 ⟩ + ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ − ⟨ ψ 2 | ψ 2 ⟩

Weil ψ 1 Und ψ 2 sind orthogonal und normalisiert, wissen Sie ⟨ ψ ich | ψ J ⟩ = δ ich J . Durch Ersetzen wird der obige Ausdruck zu ausgewertet 1 − 0 + 0 − 1 = 0 , was zeigt, dass die beiden Vektoren tatsächlich orthogonal sind.

Ihr Ansatz - mit den Integralen - war auch gültig und meinem hier im Grunde ähnlich. Beachten Sie jedoch, dass die von Ihnen verwendete Beziehung ( ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ = ∫ − ∞ ∞ ψ 1 ∗ ψ 2 D X ) die Definition eines Skalarprodukts erfüllt, können die Integrale weggelassen werden.

Ach, das macht Sinn! Ich verstehe jedoch immer noch nicht, was die Normalisierungsfaktoren mit der Frage zu tun haben. Beide Ψ 3 Und Ψ 4 passiert, haben den Normalisierungsfaktor 1 / 2 , kann aber nichts mit ihrer Orthogonalität zu tun haben, oder?
Ja, ich bin mir nicht sicher, warum Sie hier die Normalisierungsfaktoren benötigen. Es ist klar, dass wenn ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ = 0 , Dann ⟨ k ψ 1 | ψ 2 ⟩ = k ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ = 0 .
@PoetryInMotion Können Sie den Kontext erläutern, in dem das Lösungshandbuch die Normalisierungsfaktoren verwendet hat?
Oh, Entschuldigung, ich habe übersehen, dass ich beide die Orthogonalität von untersuchen sollte Ψ 3 Und Ψ 4 und normalisieren Ψ 3 Und Ψ 4 . Das erklärt, warum das Lösungshandbuch keine Normalisierungskonstanten verwendet.
In Ordnung. Da Sie den Normalisierungsfaktor oben richtig gefunden haben, nehme ich an, dass Sie bei diesem Teil keine Hilfe benötigen.
Orthogonalität summierter Wellenfunktionen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v