Was ist die kleinste Energie eines Systems aus 2 Spin 1/2 Elektronen?

Diese Frage kommt direkt aus „Conquering the Physics GRE“ von Kahn und Anderson.

Zwei Spin-1/2-Elektronen werden in ein eindimensionales harmonisches Oszillatorpotential mit Kreisfrequenz gebracht ω . Wenn eine Messung von S z des Systems zurück ℏ , welche der folgenden ist die kleinstmögliche Energie des Systems?

(Die Antwort ist 2 ℏ ω .)

Es gibt eine Lösung im Buch, aber ich kann ihr nicht folgen. Kann sich jemand hoffentlich die Zeit nehmen, mich durch das zu führen?

Edit: Buchlösung

Hier ist die Buchlösung:

Gesamt S z = ℏ bedeutet, dass sich die Elektronen im Triplettzustand befinden müssen, der symmetrisch ist. Für eine vollständig antisymmetrische Wellenfunktion muss die räumliche Wellenfunktion antisymmetrisch sein. Dies schlägt den Grundzustand aus, in dem sich beide Elektronen befinden N = 0 Zustand des harmonischen Oszillators, da dieser nach der Antisymmetrisierung identisch verschwindet. Der nächste verfügbare Zustand ist also eine antisymmetrisierte Version mit N = 0 Und N = 1 :

ψ S P A T ich A l = 1 2 ( | 0 ⟩ 1 | 1 ⟩ 2 − | 1 ⟩ 1 | 0 ⟩ 2 ) .
Dies ist ein Energieeigenzustand mit Energie ℏ ω / 2 + 3 ℏ ω / 2 .

Meine aktualisierten Fragen:

  1. Warum müssen die Zustände antisymmetrisiert werden?
  2. Wie funktioniert die Gleichung für ψ S P A T ich A l die Energie geben ℏ ω / 2 + 3 ℏ ω / 2 ?

Ich hoffe das klärt meine Frage.

Fügen Sie Ihrem Beitrag ein Bild der Lösungsseite hinzu. Es ist keine Garantie, dass Sie eine Antwort erhalten, aber Sie können auf die Zeile hinweisen, die Ihr Problem verursacht.
Ich denke nicht, dass diese Frage in ihrer aktuellen Form zum Thema gehört. Im Moment ist es eine "Zeigen Sie mir, wie ich darauf antworte" oder "Überprüfen Sie meine Arbeit". Ich denke, es kann sich auf etwas themenbezogenes konzentrieren (und das Problem, auf das verwiesen wird, ist eine niedliche Übung, die zwei Ideen gleichzeitig untersucht), aber es muss auf die Physik gerichtet sein, die John nicht versteht.

Antworten (2)

Die Tatsache, dass der Spin des Systems Eins ist, bedeutet, dass sich das System im "Triplettzustand" befindet. Gleichermaßen ist der Nettospin des Systems Spin 1, Sie können nach der Standardvorschrift "Addition von Drehimpuls" für zwei Spinhalbteilchen sehen, dass es drei mögliche Spinzustände gibt, die alle symmetrisch in Bezug auf den Austausch der sind Fermionen.

ψ 1 = | + ⟩ | + ⟩ ψ 2 = | − ⟩ | − ⟩ ψ 3 = | + ⟩ | − ⟩ + | − ⟩ | + ⟩

Die Fermionenstatistik erfordert, dass der Nettozustand von an N Fermionensystem unter Vertauschung zweier beliebiger Fermionen antisymmetrisch sein. Erinnern Sie sich, dass die Energieniveaus des harmonischen Oszillators folgen

E N = ℏ ω ( N + 1 2 )

für die N 'te Harmonische. Die genaue Form der Wellenfunktion ist nicht wichtig, aber Sie können sie hier auf Wikipedia nachschlagen . Wichtig ist, dass jeder Zustand des Systems geschrieben werden kann

ψ = ∑ ich C ich ψ ich ( 1 ) ψ ich ( 2 )
Wo C ich ist die Amplitude für den Zustand und ψ ich ( 1 , 2 ) sind die Ein-Teilchen-Wellenfunktionen für Teilchen 1 bzw. 2 (geschrieben in der "Eigenbasis" einiger Operatoren mit Eigenwerten ich , in diesem Fall nehmen wir den Hamiltonoperator, so dass wir Zustände bestimmter Energie haben).

Wir wissen, dass wir schreiben können ψ als Produkt aus Spinanteil und Ortsanteil. Aus dem Obigen können wir schließen, dass der Spin-Teil des Zustands symmetrisch ist, daher muss der räumliche Teil antisymmetrisch sein . Die niedrigstmögliche räumliche Wellenfunktion ist dann (ohne Berücksichtigung der Normierung)

ψ räumlich = ψ 0 ( 1 ) ψ 1 ( 2 ) − ψ 1 ( 1 ) ψ 0 ( 2 )

Hier haben wir gesetzt C ich auf 0 für alle ich außer dieser Kombination, da jede andere Kombination größere Werte für haben muss N oder nicht antisymmetrisch sein. Nur so erhält man eine antisymmetrische Kombination von N = 0 Und N = 1 , und das ist das niedrigste Energieniveau seit dem Versuch, mit beiden einen antisymmetrischen Zustand zu schreiben N = 0 würde eine Stornierung verursachen und zur Folge haben ψ = 0 .

Dann ist die Gesamtenergie eines solchen Zustands die Summe der Energien der einzelnen Zustände, nämlich E Netz = E 0 + E 1 , was Ihnen die Antwort gibt E = 2 ℏ ω .

Fermionen können nach dem Pauli-Ausschlussprinzip nicht im selben Zustand sein. Deshalb sollten zwei Elektronen mit gleichem Spin zwei unterschiedliche Energieniveaus einnehmen. Die niedrigste Kombination ist E0+E1

Was ist die kleinste Energie eines Systems aus 2 Spin 1/2 Elektronen?
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