Zeitentwicklung eines Staates

Question

Zeitentwicklung eines Staates

Vincenzo Ventriglia

Bei $t=0$ , eine Drehung- $1/2$ Teilchen hat die Wellenfunktion

ψ = \frac{R (R)}{\sqrt{3}} [\sqrt{2} Y_{1}^{- 1} (θ, ϕ) + Y_{1}^{0} (θ, ϕ)] χ_{1 / 2}^{1 / 2},

$\psi=\frac{R(r)}{\sqrt{3}}\big[\sqrt{2} Y_1^{-1}(\theta,\phi) + Y_1^0(\theta,\phi) \big] \chi_{1/2}^{1/2},$ die ich in Dirac-Notation und unter Verwendung von Clebsch-Gordan-Koeffizienten in umschreibe

| J, M ⟩

$\left|J,M \right\rangle$ Grundlage als

ψ = \frac{R (R)}{\sqrt{3}} [\sqrt{\frac{2}{3}} | \frac{3}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ - \sqrt{\frac{4}{3}} | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ + \sqrt{\frac{2}{3}} | \frac{3}{2}, \frac{1}{2} ⟩ - \frac{1}{\sqrt{3}} | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩] .

$\psi=\frac{R(r)}{\sqrt{3}}\Big[\sqrt{\frac{2}{3}}\left|\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle -\sqrt{\frac{4}{3}}\left|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}\left|\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right\rangle - \frac{1}{\sqrt{3}} \left|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle \Big].$ Angesichts der Hamiltonian

H = G J_{z},

$\mathcal{H}=gJ_z,$ wie schreibt man das

J_{z}

$J_z$ und die zeitliche Entwicklung des Staates, nämlich

ψ (t)

$\psi(t)$ ?

Mike

Kennen Sie irgendwelche Gleichungen, die die Zeitabhängigkeit einer Wellenfunktion mit dem Hamilton-Operator in Beziehung setzen, der auf dieser Wellenfunktion operiert? Kennen Sie zum Beispiel Schrödinger ?

Vincenzo Ventriglia

Sicher. Aber wie schreibt man

J_{z}

$J_z$ ?

Kosmas Zachos

In Ihrer Dirac-Basis, wie sie auf Ihren Staat angewendet wird,

J_{z}

$J_z$ ist aber diag(-1/2,1/2), da Sie die ±3/2 Eigenwerte nie berücksichtigen mussten.

Mike

Zum Beispiel,

J_{z} | 3 / 2, 1 / 2 ⟩ = ℏ / 2 | 3 / 2, 1 / 2 ⟩

$J_z \lvert 3/2, 1/2 \rangle = \hbar/2\, \lvert 3/2, 1/2 \rangle$ . Beachten Sie, dass

J_{z} r = 0

$J_z r = 0$ . Geben Sie nun jedem Spin-Ket eine Zeitabhängigkeit wie

e^{\pm i ω t}

$e^{\pm i \omega t}$ (wobei das Vorzeichen auf dem Vorzeichen von basiert

M

$M$ ) und löse auf

ω

$\omega$ . Beachten Sie, dass es nur ist

\pm ω

$\pm \omega$ weil jedes dieser Kets ein Energie-Eigenzustand mit der gleichen Energiegröße (aber entgegengesetzten Vorzeichen) ist.

Vincenzo Ventriglia

@CosmasZachos, ich danke dir wirklich! Ich weiß, dass es eine dumme Frage war. Das liegt daran, dass ich mit solchen Übungen nicht genug vertraut bin.

Antworten (1)

Zeitentwicklung eines Staates

Kennen Sie irgendwelche Gleichungen, die die Zeitabhängigkeit einer Wellenfunktion mit dem Hamilton-Operator in Beziehung setzen, der auf dieser Wellenfunktion operiert? Kennen Sie zum Beispiel Schrödinger ?
In Ihrer Dirac-Basis, wie sie auf Ihren Staat angewendet wird, $J_z$ ist aber diag(-1/2,1/2), da Sie die ±3/2 Eigenwerte nie berücksichtigen mussten.
Zum Beispiel, $J_z \lvert 3/2, 1/2 \rangle = \hbar/2\, \lvert 3/2, 1/2 \rangle$ . Beachten Sie, dass $J_z r = 0$ . Geben Sie nun jedem Spin-Ket eine Zeitabhängigkeit wie $e^{\pm i \omega t}$ (wobei das Vorzeichen auf dem Vorzeichen von basiert $M$ ) und löse auf $\omega$ . Beachten Sie, dass es nur ist $\pm \omega$ weil jedes dieser Kets ein Energie-Eigenzustand mit der gleichen Energiegröße (aber entgegengesetzten Vorzeichen) ist.
@CosmasZachos, ich danke dir wirklich! Ich weiß, dass es eine dumme Frage war. Das liegt daran, dass ich mit solchen Übungen nicht genug vertraut bin.

ZeroTheHero · Answer 1

In der Regel sind die Vollzeitlösungen abhängig

| ψ_{N} (T) ⟩ = e^{- ich T E_{N} / ℏ} | ψ_{N} ⟩

$\vert \psi_n(t)\rangle =e^{-itE_n/\hbar}\vert \psi_n\rangle$ mit

| ψ_{n} ⟩

$\vert\psi_n\rangle$ Die

n

$n$ 'tes Eigenket der zeitunabhängigen Gleichung.

Da die Schrödinger-Gleichung linear ist, ist eine Summe von Lösungen auch eine Lösung; so ist die allgemeine Form einer Lösung

| Ψ (T) ⟩ = \sum_{N} C_{N} e^{- ich T E_{N} / ℏ} | ψ ⟩ .

$\vert\Psi(t)\rangle =\sum_n c_n e^{-itE_n/\hbar}\vert \psi\rangle\, .$ Da die Schrödinger-Gleichung zeitlich erster Ordnung ist, kann man die Koeffizienten bestimmen

c_{n}

$c_n$ aus dem Ausgangszustand

| Ψ (0) ⟩

$\vert\Psi(0)\rangle$ .

Es ist dann eine einfache Übung für Sie, die zu finden $c_n$ 's Ihren Anfangszustand gegeben.

Ja sicher. Aber wie schreibt man $J_z$ um die Frage zu beantworten? Ich bin mir nicht sicher, aber es sollte eine Diagonale sein $6\times 6$ Matrix in dieser Basis
@VincenzoVentriglia Ihre individuellen Kets sind Eigenkets von $J_z$ .

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Mike

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Kosmas Zachos

Mike

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