Wie findet man die Wellenfunktion eines Teilchens in seinem Ruhesystem?

In der klassischen Mechanik ist der Bahndrehimpuls eines Teilchens definiert als L = R × P . Diese ist im Ruhesystem des Teilchens null, wo P = 0 .

Quantenmechanisch, P ist ein Operator. Also setzen P ^ = 0 In L ^ = R ^ × P ^ und zu behaupten, dass der Bahndrehimpuls eines Quantenteilchens in seinem Ruhesystem Null ist, macht keinen Sinn. Man muss sich den Wert anschauen L ^ 2 auf die „ Wellenfunktion im Ruhesystem “ des Teilchens.

Wie findet man die Wellenfunktion eines Teilchens in seinem Ruhesystem?

Hinweis: Zeigen Sie, dass der Kommutator [ L ich , P J ] ist proportional zu P k . Als nächstes setzen P = 0 .
Wer sagt, dass ein Quantenteilchen (in allem, was kein Impuls-Eigenzustand einer ebenen Welle ist) von Anfang an ein Ruhesystem hat ?
Dein Ansatz ist nicht der richtige. Die Idee ist, von der Existenz des Generators auszugehen J von globalen Drehungen um den Ursprung, wodurch die Lie-Algebra-Beziehungen erfüllt werden S Ö ( 3 ) und als nächstes definieren S k = J k − ( X ∧ P ) k . Es ist leicht zu beweisen, von CCR of X Und P dass die S k Definieren Sie immer noch eine Repräsentation Lie-Algebra-Relationen S Ö ( 3 ) und pendeln mit X Und P . Eventuell ist diese Darstellung trivial (dh es gibt keinen Spin) sonst das S k definieren den Eigendrehimpuls.
Auch bekannt (vielleicht fälschlicherweise) als Drehimpuls im Ruhesystem des Systems. Tatsächlich ist die Beschreibung auf Quantenebene heikler, und die Existenz von Nichttrival S k entsprechen (unter Verwendung des Stone-von-Neumann-Theorems) einer Faktorisierung des Hilbert-Raums H Ö R B ⊗ H ich N T R ich N S ich C . Der erstere Faktor beschreibt den Orbitalzustand, wo X Und P definiert sind, letzteres beschreibt die Eigenschaften des Systems unabhängig vom Orbitalzustand und beinhaltet die Operatoren S k (aber auch die Anklage wegen Insatnce).
Dies ist eine bessere Quanteninterpretation des Ruhesystems des Systems.
@ValterMoretti In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird der Spin von Hand eingegeben. Ich interessiere mich für den räumlichen Teil der Wellenfunktion und zeige, dass die ⟨ L 2 ⟩ = 0 (wobei die Erwartung bezüglich der Wellenfunktion des Ruherahmens genommen wird).
@EmilioPisanty Ich verstehe nicht, warum es ein Problem für ein Quantenteilchen ist, einen Ruherahmen zu haben. Haben Sie die Unschärferelation im Hinterkopf?
@SRS Was ich geschrieben habe, hängt nicht von relativistischer / nicht relativistischer QM ab, sondern nur von der Existenz einer Darstellung einer Gruppe mit 3 Rotationen. Aber jetzt ist Ihr Punkt klarer. Es hat nichts mit dem Begriff des Spins zu tun.

Antworten (1)

Die Ruherahmen-Wellenfunktion ψ ( X , T ) ist derjenige so, dass

0 ≡ ⟨ P ⟩ = ∫ R 3 ψ ∗ ( X , T ) ( − ich ∇ ) ψ ( X , T )   D X

Wenn k ≡ ⟨ P ⟩ nicht Null ist, müssen wir nur die Wellenfunktion neu definieren:

ψ ( X , T ) → e − ich k ⋅ X ψ ( X , T )
was befriedigt ⟨ P ⟩ ≡ 0 Durch den Bau. Dies ist nur eine Übersetzung in den Impulsraum,
ψ ~ ( P , T ) → ψ ~ ( P − k , T )
was offensichtlich einen Mittelwert von Null hat.

Allgemeiner gesagt, wenn Sie ein System mit vielen Teilchen haben, ist das Ruhesystem des Systems per Definition dasjenige wo ⟨ P ⟩ ≡ 0 , Wo P bezeichnet den gesamten Impuls:

P = ∑ ich P ich

Ich würde erwarten, dass das "Ruhebild" eines bestimmten Partikels ebenfalls gehorcht ⟨ P 2 ⟩ = 0 (und somit generell nicht auffindbar sein). Ist das eine Standard- (Fehl-) Terminologie, die ich verpasse? Es ist schön, sich in einen Rahmen zu versetzen, in dem der erwartete Impuls Null ist, aber das bedeutet nicht, dass sich das Partikel in diesem Rahmen "nicht bewegt", wie dies durch die "Ruhe" in "Restrahmen" impliziert wird.
@EmilioPisanty Restrahmen bedeutet ⟨ P ⟩ = 0 nur. Es bedeutet nicht ⟨ P 2 ⟩ = 0 . Ich werde versuchen, eine gute Referenz zu finden. Im Moment ist es nur eine Terminologie. "Ruherahmen" bedeutet null mittleren Impuls; es bedeutet nicht "überhaupt nicht bewegen" (was auch immer das bedeutet). Klassischer ausgedrückt ist das Ruhesystem einer Ansammlung von Teilchen das System, in dem der Gesamtimpuls verschwindet; aber es gibt eine Nicht-Null-Dispersion, Δ P ≠ 0 . In ähnlicher Weise ist das Ruhesystem in QM dasjenige, in dem der Gesamtimpuls verschwindet; aber es gibt auch eine Nicht-Null-Dispersion, Δ P ≠ 0 .
Das Beste, was ich im Moment finden konnte, ist Cohen-Tannoudji, Quantenmechanik, Band 1, Kapitel VII, Abschnitt B. Ich werde sehen, ob ich etwas Besseres finden kann.
⟨ P ⟩ = 0 als Ruhesystem einer Ansammlung von Teilchen sinnvoll, aber ein Quantenteilchen ist kein Ensemble. Diese Verwendung des Begriffs erscheint mir völlig verrückt (aber das sagt nichts darüber aus, ob er verwendet wird oder nicht). Nun ja.
@AccidentalFourierTransform Stellt Ihre zweite Gleichung die Transformation der Wellenfunktion unter Galilean Boost oder Translation dar?
Der Galileische Boost einer Wellenfunktion ist komplizierter, siehe hier .
@SRS "Boost" war nicht das richtige Wort. Es ist nur eine Neudefinition. Eine Übersetzung in den Impulsraum, wenn Sie so wollen.
@EmilioPisanty Interessanterweise ist dies vielleicht ein Fall, in dem einige Interpretationen von QM (dh Ensemble- oder Informationsinterpretationen) diese Definition natürlicher machen als andere (Interpretationen, bei denen die Einzelteilchenwellenfunktion eine physikalische Realität hat).
@AccidentalFourierTransform Ist der Erwartungswert von L 2 Null in der Wellenfunktion des Ruherahmens?
@SRS Nein. Nehmen Sie zum Beispiel das Wasserstoffatom. ⟨ P ⟩ = 0 Aber ⟨ L 2 ⟩ = ℓ ( ℓ + 1 ) .
@AccidentalFourierTransform Daher kann es im Gegensatz zu einem klassischen Teilchen, dessen Drehimpuls in seinem Ruherahmen Null ist, für ein Quantenteilchen ungleich Null sein. Habe ich recht?
@SRS Ein klassisches binäres System (Elektron + Proton) hat in seinem Ruhesystem auch einen Drehimpuls ungleich Null.
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