Lässt sich der Quantendrehimpulsoperator aus seinen Vertauschungsbeziehungen mit Ort und Impuls ableiten?

Aufgabe 12.2.2 in Shankar's Principles of Quantum Mechanics verlangt, den Ausdruck für den Drehimpulsoperator herzuleiten L z

L z = X P j − Y P X
unter Verwendung seiner Kommutierungsbeziehungen mit den Koordinaten- und Impulsoperatoren
[ X , L z ] = − ich ℏ Y [ Y , L z ] = ich ℏ X [ P X , L z ] = − ich ℏ P j [ P j , L z ] = ich ℏ P X
Ich habe eine Lösung gesehen , die die Koordinatendarstellungen der Impulse verwendet.

Ich würde jedoch gerne eine finden, die sich ausschließlich auf die abstrakten Beziehungen stützt.

Das konnte ich bisher nur beweisen L z Und X P j − Y P X pendeln. Multipliziere die erste Relation rechts mit P j und die dritte Beziehung

[ X , L z ] P j = − ich ℏ Y P j Y [ P X , L z ] = − ich ℏ Y P j
Durch Gleichsetzen der LHS erhalten wir
( X L z − L z X ) P j = Y ( P X L z − L z P X ) X L z P j − L z X P j = Y P X L z − Y L z P X
Jetzt subtrahieren X P j L z von beiden Seiten
X L z P j − X P j L z − L z X P j = Y P X L z − X P j L z − Y L z P X X [ L z , P j ] − L z X P j = ( Y P X − X P j ) L z − Y L z P X
Hinzufügen L z Y P X zu beiden Seiten
X [ L z , P j ] + L z Y P X − L z X P j = ( Y P X − X P j ) L z + L z Y P X − Y L z P X X [ L z , P j ] + L z ( Y P X − X P j ) = ( Y P X − X P j ) L z + [ L z , Y ] P X [ L z , X P j − Y P X ] = X [ P j , L z ] − [ Y , L z ] P X
Aus den Vertauschungsrelationen leiten wir dies jedoch ab X [ P j , L z ] = [ Y , L z ] P X = ich ℏ X P X , Deshalb
[ L z , X P j − Y P X ] = 0

Alle anderen Manipulationen ließen mich in logischen Kreisen drehen. Ich würde mich über jede Hilfe bei der Vervollständigung des Arguments freuen.

Bei näherer Betrachtung scheint die von Ihnen verlinkte Lösung auch völlig gültig zu sein.
Ja, den mag ich auch. Ich habe mich nur gefragt, ob es möglich wäre, nicht zur Basis zu gehen, und ob ich die Algebra einfach nicht richtig hinbekomme. Freude am Selbststudium.
Oh! Du meinst, du willst das koordinatenfrei machen?
Exakt! Entschuldigung, wenn ich es unverständlich ausgedrückt habe
Nun, es gibt unveränderliche Möglichkeiten, die Kommutierungsbeziehungen zu formulieren, aber sie sind nicht besonders aufschlussreich: [ A ⋅ R , B ⋅ P ] = ich ℏ A ⋅ B , [ A ⋅ R , B ⋅ L ] = ich ℏ R ⋅ ( A × B ) , und ein analoges für P , Wo A Und B sind willkürlich ( C -Zahl) Vektoren in R 3 . Sie könnten dann wie in meiner Antwort vorgehen.
Ehrlich gesagt lohnt es sich aber nicht. Wählen Sie einen beliebigen Bezugsrahmen. Dann implizieren die, die ich gerade gegeben habe, die in Ihrer Antwort als Sonderfälle, und letztere implizieren die ersteren durch Linearität (einfach zerlegen A Und B in Komponenten). Die beiden sind transparent gleichwertig, sodass Sie genauso gut in einem bestimmten Rahmen arbeiten können, sobald es auch nur etwas bequemer ist.
Super, danke nochmal! Ich nehme diese auf und komme dann später auf diese Herleitung zurück. Immer noch ein Berg an Material, das es zu verdauen gilt.

Antworten (1)

Was Sie wollen, ist nicht wirklich möglich. Der Grund dafür ist, dass der Drehimpuls eines Teilchens eine Spinkomponente haben kann, oder dass es andere Teilchen geben kann, für die Sie auch den Drehimpuls einbeziehen müssen. Genauer gesagt, alles, was Sie aus Symmetrie-Argumenten schließen können, ist, dass es in einer rotationsinvarianten Theorie einen Pseudovektor-Operator gibt J ^ deren Kommutierungsbeziehungen mit den Positions- und Impulskomponenten eines beliebigen Teilchens im System die von Ihnen geposteten sind. Es enthält typischerweise den Bahndrehimpuls des Teilchens, L ^ , sowie andere Operatoren wie Spin, die mit allen Orts- und Impulsoperatoren kommutieren.

Dies vermeidet natürlich die Tatsache, dass, wenn Sie nur die Bahnfreiheitsgrade eines einzelnen Teilchens haben, es dort nichts gibt, was mehr Drehimpuls haben wird, und die gewünschte Gleichheit sollte folgen .

Der Weg, um das zu beweisen, ist der folgende. Sie beginnen mit einem Gesamtdrehimpulsoperator J ^ wovon man nur seine Vertauschungsbeziehungen kennt R ^ Und P ^ . Anschließend konstruieren Sie den Bahndrehimpulsoperator L ^ und zeigen Sie, dass es die gleichen Vertauschungsbeziehungen mit hat R ^ Und P ^ als J ^ . Das heißt, dann das J ^ − L ^ pendelt mit allen Komponenten von R ^ Und P ^ .

Nun, wenn Ihr System wirklich aus einem einzelnen Teilchen besteht, dann trägt es die direkte Summe von drei irreduziblen Darstellungen der Heisenberg-Gruppe , deren Algebra natürlich durch die Komponenten von aufgespannt wird R ^ Und P ^ . Das bedeutet, dass Sie Schurs Lemma anwenden können , um zu schlussfolgern, dass jede Komponente von J ^ − L ^ muss ein Vielfaches des Einheitsoperators sein.

Schließlich würde ein solcher Vektor in einem isotropen System die globale Rotationssymmetrie brechen und muss daher Null sein.

Lässt sich der Quantendrehimpulsoperator aus seinen Vertauschungsbeziehungen mit Ort und Impuls ableiten?
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