Gilt diese Vertauschungsrelation?

Question

Gilt diese Vertauschungsrelation?

Xin Wang

Ich habe mich gefragt, ob das stimmt $[L_x^2,x^2+y^2+z^2]=0$ . Ich konnte es im Internet nicht finden und wollte deshalb hier fragen, ob hier jemand weiß, dass dies wahr oder falsch ist.

Federico Carta

Sie könnten es selbst herausfinden, indem Sie die grundlegenden Eigenschaften des Kommutators und die grundlegende Kommutierungsbeziehung verwenden

[X_{i}, P_{j}] = i ℏ δ_{i j}

$[X_i,P_j]=i\hbar\delta_{ij}$ Darüber hinaus tut

L_{x}^{2}

$L^2_x$ bedeuten

L_{x} L_{x}

$L_xL_x$ ?

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Gilt diese Vertauschungsrelation?

Sie könnten es selbst herausfinden, indem Sie die grundlegenden Eigenschaften des Kommutators und die grundlegende Kommutierungsbeziehung verwenden $[X_i,P_j]=i\hbar\delta_{ij}$ Darüber hinaus tut $L^2_x$ bedeuten $L_xL_x$ ?

Valter Moretti · Answer 1

Es ist sicherlich wahr. Der Standardweg, um dies zu beweisen, ist die Berechnung der LHS. Es gilt jedoch aus einfachen theoretischen Gründen: Wenn $U_t = e^{-it L_x}$ ist die einheitliche Darstellung einer Drehung, eines Winkels $t$ , um die $x$ Achse, du hast:

U_{T} | \hat{X} |^{2} U_{T}^{†} = | \hat{X} |^{2}

$U_t |\hat{\bf x}|^2 U^\dagger_t = |\hat{\bf x}|^2$

seit $|\hat{\bf x}|^2= \hat{x}^2+ \hat{y}^2+ \hat{z}^2$ als Skalar transformiert. Unter der $t$ Ableitung für $t=0$ du erhältst:

[L_{X}, | \hat{X} |^{2}] = 0

$[L_x,|\hat{\bf x}|^2] = 0$

Endlich:

[A^{2}, B] = A [A, B] + [A, B] A

$[A^2,B]= A[A,B] + [A,B]A$

beendet die Berechnung.

Warum tut $\hat{x}$ als Skalar transformieren? Es ist ein Vektor! Ich glaube, Ihre Antwort enthält einen Tippfehler, und Sie meinten $|\hat{x}|^2$
Sicher, die Frage betrifft $|\hat{x}|^2$ , was ein Skalar ist, und Ihre Antwort ist richtig. Ich beziehe mich auf die vierte Zeile Ihrer Antwort, in der Sie schreiben "seit $\hat{x}$ als Skalar transformiert. Unter der...". Da ist ein Tippfehler drin, da du schreibst $\hat{x}$ ist ein Skalar, aber stattdessen ist es ein Vektor, und sein Modulusquadrat ist ein Skalar.
Entschuldigung, ich habe den Tippfehler, auf den Sie hingewiesen haben, nicht gesehen. Ich habe korrigiert. Danke

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Xin Wang

Federico Carta

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Valter Moretti

Federico Carta

Federico Carta

Valter Moretti

Xin Wang

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