Hamiltonoperator mit Positions-Spin-Kopplung

Ich löse einen Hamiltonoperator mit einem Term ( X ⋅ S ) 2 . Der Hamiltonoperator ist wie diese Form:

H = L ⋅ S + ( X ⋅ S ) 2
Wo X ist der Positionsoperator, L Drehimpulsoperator und ist S ist Spin-Operator. Der Eigenwert für L 2 Und S 2 Sind l ( l + 1 ) Und S ( S + 1 ) .

Wenn der Hamilton-Operator nur den ersten Term hat, ist es nur eine Spin-Orbital-Kopplung und leicht zu lösen. Die Summe J = L + S , L 2 Und S 2 sind Quantenzahlen. Betrachten wir jedoch den zweiten Term Position und Spinkopplung ( X ⋅ S ) 2 , wird es viel schwieriger. Die Summe J ist immer noch eine Quantenzahl. Wir haben [ ( X ⋅ S ) 2 , J ] = 0 . Jedoch, [ ( X ⋅ S ) 2 , L 2 ] ≠ 0 , L ist keine Quantenzahl mehr.

Hat jemand eine Idee, wie man diesen Hamilton-Operator lösen kann?

Ist X Position? Wenn ja, scheint etwas an den Einheiten faul zu sein, es sei denn, es gibt Koeffizienten für jeden dieser Begriffe, die Sie nicht aufgenommen haben.
@ David: Dies ist offensichtlich in natürlichen Einheiten. Die besorgniserregendere Auslassung ist der kinetische Term: Es gibt einen x-Operator ohne einen p-Operator in H. Ich gehe davon aus H = P 2 + v ( R ) + L ⋅ S + ( X ⋅ S ) 2 , und dass das ungestörte Problem einfach als selbstverständlich hingenommen wird.
@Ron: Es ist genauso offensichtlich, dass dies ein Wechselwirkungs-Hamiltonian ist, wie es in natürlichen (Planck-) Einheiten ist ;-) Beide Dinge sollten in der Frage angegeben werden. (Ich bin davon ausgegangen, dass der kinetische Begriff implizit war, ohne es zu merken, bis Sie Ihren Kommentar gepostet haben.)
Danke für die Antwort. Der einzige Weg, den ich dachte, war, den Hamiltonian zu erweitern J z Komponente. Auf diese Weise kann der Hamiltonoperator in Matrixform geschrieben und dann numerisch diagonalisiert werden. Die Berechnung wird kompliziert. Ich frage mich, gibt es eine algebraische Methode?
@David: Ich meinte nicht Planck-Einheiten, ich meinte natürliche Einheiten für das Atomproblem, bei dem Sie nach dem Setzen von hbar und m_e auf 1 immer noch eine weitere Energieeinheit haben. Ich bin davon ausgegangen, dass es auch einen kinetischen Term gibt, aber gibt es ein externes Potential? Ist das in einem Atom oder im freien Raum?
@demonoid: Wenn es kein anderes Potenzial gibt, ist das Problem trivial, da jede z-Komponente des Spins in entgegengesetzte Richtungen beschleunigt. Bitte geben Sie an, ob Sie ein anderes externes Potential als die spinabhängige Kraft haben. In Ermangelung anderer Potentiale ist dies auch als Stern-Gerlach-Kraft bekannt.

Antworten (3)

Dieses Problem erscheint aus folgendem Grund interessant. Schreiben wir es in kartesischen Koordinaten auf:

− 1 2 ( ∂ 2 ψ ∂ X 2 + ∂ 2 ψ ∂ j 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 ) + 1 2 ( X ⋅ S ) 2 ψ + L ⋅ S ψ = E ψ

wobei ich zur späteren Bequemlichkeit einen 1/2-Faktor eingeführt habe. Jetzt konzentriere ich mich auf x und betrachte den Operator

− 1 2 ∂ 2 ∂ X 2 + 1 2 ( X ⋅ S ) 2

Man kann Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ähnlich wie beim harmonischen Oszillator einführen

A S = 1 2 ( ∂ ∂ X + X S )

und die entsprechenden Eigenvektoren werden als bezeichnet | N , S ⟩ . Der nächste Schritt ist das Aufschreiben L ⋅ S = 1 2 ( J 2 − L 2 − S 2 ) und wir können dieses Problem in der Form wiederholen

( A S † A S + 1 2 ) ψ − 1 2 ( ∂ 2 ψ ∂ j 2 + ∂ 2 ψ ∂ z 2 ) + 1 2 ( J 2 − L 2 − S 2 ) ψ = E ψ

Ich würde empfehlen, mit der Überprüfung Ihrer Hamilton-Symmetrie zu beginnen. Es ist leicht zu bemerken, dass es rundherum Rotationssymmetrie hat X Achse. Somit können die Zustände entsprechend klassifiziert werden J X .

Wahrscheinlich könnten Sie ohne Hamiltonian beginnen X S Term, schreibe die Lösung in Bezug auf J Und (!) J X und dann untersuchen ( X S ) 2 Betreiber in dieser Basis.

Vielleicht ist es bequemer, Ihren zusätzlichen Begriff als zu schreiben ( z S ) was es einfach macht, Standardgrundlagen aus den Lehrbüchern zu verwenden.

Ich denke, dass OP durch die Notation X ⋅ S bedeutet R → ⋅ S → .
Wahrscheinlich. Auf den ersten Blick scheint es, dass der Standardansatz für kugelsymmetrisches Potential in diesem Fall funktionieren würde. Das Punktprodukt zweier [Pseudo-]Vektoren ergibt normalerweise einen Operator, der unter Rotationen invariant ist.
Sicherlich ist das Problem sehr schlecht formuliert und auch OP scheint keine sehr klaren Vorstellungen davon zu haben.

Ich würde es mit einer Matrixdarstellung lösen.

Wenn wir Pauli-Matrizen mit multiplizieren ℏ 2 Wir können auf folgender Grundlage arbeiten:

| N ; S z = + ⟩ , | N ; S z = − ⟩

Beachten Sie, dass

S ⋅ L = S X L X + S j L j + S z L z

X ⋅ S = X S X

[ L , S ] = 0

Sie erhalten eine Matrix in der S z Basis ( 2 × 2 ) und diagonalisieren (Eigenzustände und Eigenwert finden).

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