Kommutierung des Hamiltonoperators mit Impuls

Wenn der Hamiltonoperator unter Translationen invariant ist. Um dies zu sehen, erinnere dich daran$P$ist der infinitesimale Generator von Übersetzungen. Wie zB Dirac in Lectures on Quantum Mechanics gezeigt hat, kommutiert jeder infinitesimale Generator einer Symmetrie mit dem Hamiltonoperator, der selbst der Generator der Zeittranslationen, dh der Dynamik ist.

Typische Beispiele für einen Hamiltonian, der mit pendelt$P$das freie Teilchen ist, oder allgemeiner jede zulässige Funktion von$P$allein. Das QHO ist ein Beispiel, wo eine solche Kommutierung nicht gilt, da das harmonische Potential die Symmetrie unter Translation (und natürlich eine Funktion der Positionen) deutlich bricht$Q$möglicherweise nicht mit pendeln$P$).

Hier ist ein schneller Beweis:

$$\begin{equation} [\hat H, \hat p] = [\hat T+ V, \hat p] \\ =[\dfrac{\hat p^2}{2m}+ V, \hat p] \\ =[\dfrac{\hat p^2}{2m}, \hat p] + [V, \hat p] \\ \end{equation}$$ Beachten Sie, dass das Potential hier im Allgemeinen eine Funktion von x ist, dh$V(x)$. Nutzung der Eigenschaft von Kommutatoren, die: $$[AB, C] =A[B,C]+[A,C]B$$

Verwenden Sie auch das Ergebnis that für eine beliebige Funktion$f$:

$$[f, \hat p]=i \hbar \dfrac{\partial f}{\partial x}$$

Wir bekommen:

$$\begin{equation} [\hat H, \hat p] = \dfrac{1}{2m}(\hat p[\hat p,\hat p]+[\hat p,\hat p]\hat p)+i \hbar \dfrac{\partial V}{\partial x} \end{equation}$$

Operator pendelt mit sich selbst! So$[\hat p, \hat p]=0$:

$$\begin{equation} [\hat H, \hat p] = i \hbar \dfrac{\partial V}{\partial x} \end{equation}$$

Wenn$\dfrac{\partial V}{\partial x}=0$, dh$V$hat keine explizite Abhängigkeit von$x$, Dann:

$$\begin{equation} [\hat H, \hat p] = 0 \end{equation}$$

Der Hamilton-Operator für ein quantenmechanisches System wird durch die imaginäre Einheit multipliziert mit der partiellen Zeitableitung dargestellt. Der Impuls ist proportional zum Gradienten. Wenn Sie ein System in Bezug auf zwei unabhängige Variablen ableiten (was die partielle Ableitung tut, sie ignoriert Ihre Position als Funktion der Zeit), spielt es keine Rolle, auf welche Sie es zuerst ableiten.

Daher die zeitliche Ableitung und der Gradientenpendel.

Da die Proportionalitätskoeffizienten konstante Skalare sind, tauschen sie auch mit den beiden Ableitungen aus, wodurch sich alles aufhebt und Null ergibt. Ich weiß nicht, wie man hier Gleichungen aufstellt, also ist dies das Beste, was ich Ihnen geben kann, es sei denn, dies funktioniert:

$$\begin{align}[P_j,H]\psi &=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_j}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(-i\hbar)\frac{\partial}{\partial x_j}\psi\\ &=\hbar^2\left(\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial}{\partial x_j}\right)\psi\\ &=\hbar^2\left[\frac{\partial}{\partial x_j},\frac{\partial}{\partial t}\right]\psi\end{align}$$ Aber$t$Und$x_j$(Die$j^\text{th}$räumliche Variable wo$x_1$ist der$x$-Koordinate,$x_2=y,\ x_3=z$) werden unabhängig von den partiellen Ableitungen behandelt (wenn sie vollständig abgeleitet wurden$\frac{d}{dt}$dann würden Sie einige räumliche Koordinaten in Geschwindigkeit umwandeln und so), was das bedeutet$\left[\frac{\partial}{\partial x_j},\frac{\partial}{\partial t}\right]=0$. Somit$[P_j,H]=0$Und$[\vec{P},H]=\vec{0}$.