Schrödinger-Gleichung für zeitabhängigen Hamiltonoperator und Konjugation

Die Schrödinger-Gleichung für den Evolutionsoperator lautet:

$$\frac{\partial U}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}HU$$

wobei wir für einen zeitabhängigen Hamiltonoperator definieren, der zu verschiedenen Zeiten nicht mit sich selbst pendeln muss

$$U(t,t_0)=Te^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} H(t')dt'}$$

Wo$T$ist der Zeitordnungsoperator.

Nimmt man nun die konjugierte Transponierte der ersten Gleichung:

$$\frac{\partial U^\dagger}{\partial t} = +\frac{i}{\hbar}U^\dagger H \tag{1}$$

während wenn man stattdessen hinschaut$U^\dagger$(die konjugierte Transponierte des definierten$U$) und nimmt seine Ableitung, wir erhalten:

$$\frac{\partial U^\dagger}{\partial t} = +\frac{i}{\hbar}H U^\dagger \tag{2}$$ Offensichtlich sind die beiden nur dann äquivalent, wenn der Hamiltonoperator zu unterschiedlichen Zeiten mit sich selbst pendelt, in diesem Fall ist die zeitliche Reihenfolge redundant und $[U,H]=0$.

Wenn sie nicht pendeln, was von beiden ist richtig?

Zu beachtende Hinweise:

1. Obwohl meine erste Vermutung technisch gesehen wäre, dass der zweite Gedankengang richtig ist, bin ich mir nicht sicher, da ich mir dessen nicht sicher bin$U^\dagger$ist nur gleichbedeutend mit nehmen$i\to-i$in der obigen Definition von$U$. Wollen wir nicht$U^\dagger$mit Zeit-Anti-Ordnung definiert werden?
2. Wenn der erste Punkt richtig ist, was bedeutet das für die zeitliche Ableitung? Bedeutet dies, dass bei der Ableitung$H$sollte rechts von gehen$U^\dagger$?
3. Beachten Sie das Putten$H$rechts von$U^\dagger$, ist reizvoll, wenn man die üblichen Ausdrücke für die Schrödinger-Gleichung und die Liouville-Von-Neumann-Gleichung im Wechselwirkungsbild erhalten will. Wenn dies nicht der Fall ist, kann man beispielsweise nicht die üblichen Ausdrücke für das Interaktionsbild verwenden, während man einen zeitabhängigen Hamilton-Operator als den ungestörten Hamilton-Operator nimmt, wie es beispielsweise hier (im letzten Abschnitt) hinter den Kulissen getan wird.