Was erzeugt wirklich Zeitentwicklung?

Ein grundlegendes Prinzip der Quantenmechanik besagt, soweit ich das beurteilen kann, dass der Hamilton-Operator die Zeitentwicklung erzeugt. Ein häufiges Ergebnis über Generatoren sind die folgenden: let T sei der hermitesche Generator von U ( τ ) , dann haben wir

ich ∂ ∂ τ U | ψ ⟩ = T | ψ ⟩

Wenn H erzeugt U ( T ) (insbesondere Zeitentwicklung dieses Mal) dann, Schreiben für den entwickelten Zustand | ψ ' ⟩ = U | ψ ⟩ :

ich ∂ | ψ ' ⟩ ∂ T = H | ψ ⟩
und wir haben ein verloren ℏ vom echten TDSE . Bedeutet dies dann tatsächlich, dass die Zeitentwicklung von erzeugt wird? H ℏ ? Ich frage nur, weil ich an mehreren Stellen die genaue Aussage "der Hamiltonian erzeugt Zeitentwicklung" gehört habe.

Beachten Sie, dass ℏ ist eine Zahl, H ^ ist ein Operator.
Aber H ^ ℏ ≠ H ^ , ist also nicht äquivalent.
Stimmt, aber was ist ℏ | ψ ( T ) ⟩ vs H ^ | ψ ( T ) ⟩ ?

Antworten (1)

Ja, Sie müssen einen zusätzlichen Faktor von eingeben ℏ um die Einheiten zum Laufen zu bringen. Dies ist da leicht ersichtlich, wenn ein Operator T erzeugt Evolution in einem Parameter τ , der entsprechende Evolutionsoperator ist e ich T τ , So T τ muss einheitenlos sein. Wenn τ dann ist es soweit T muß sein H / ℏ .

Das ist eine Eigenart des Sprachgebrauchs, an die Sie sich gewöhnen müssen; Wenn Leute sagen "der Hamiltonian erzeugt Zeitentwicklung", verwenden sie "den Hamiltonian", um etwas zu bedeuten, das proportional zum Hamiltonian ist. A H für eine Konstante ungleich Null A (in diesem Fall, A = 1 / ℏ ). Dies ist nicht unangemessen, da die Neuskalierung des Hamilton-Operators durch eine Konstante die Lösungen der Bewegungsgleichungen nicht ändert, sodass Sie die Äquivalenzklasse berücksichtigen können { A H   ∀   A ≠ 0 } um "der Hamiltonianer" zu sein. (Entschuldigung an die Mathematiker für meinen schrecklichen Missbrauch der Mengennotation, aber der Punkt sollte klar sein.)

Cantor dreht sich in seinem Grab!
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