Allgemeine Lösung von Zuständen des zeitabhängigen Hamiltonoperators

Question

Allgemeine Lösung von Zuständen des zeitabhängigen Hamiltonoperators

Physik
hamiltonisch
Zeitentwicklung
Quantenmechanik
Schrödinger-Gleichung
Beeren-Pancharatnam-Phase

Anonym

Bei einem zeitabhängigen Hamiltonoperator, der zu unterschiedlichen Zeiten pendelt, haben wir den Zeitentwicklungsoperator gegeben durch

U (T, 0) = exp [- (\frac{ich}{H}) \int_{0}^{T} D T^{'} H (T^{'})],

$\mathcal{U}(t,0) = \text{exp}\bigg[-\bigg(\frac{i}{h}\bigg)\int_{0}^{t}dt' H(t')\bigg],$ für einen Allgemeinzustand

| Ψ, t_{0} = 0 ⟩

$| \Psi, t_0 = 0 \rangle$ bei

t = 0

$t = 0$ wir bekommen dann:

Ψ (X, T) = ⟨ X | U (T, 0) | Ψ, T_{0} = 0 ⟩ = ⟨ X | U (T, 0) \sum_{N} | N ⟩ ⟨ N | Ψ ⟩ = \sum_{N} ⟨ X | N ⟩ ⟨ N | Ψ ⟩ exp [- (\frac{ich}{ℏ}) \int_{0}^{T} D T^{'} E_{N} (T^{'})] = \sum_{N} C_{N} ψ_{N} exp [- (\frac{ich}{ℏ}) \int_{0}^{T} D T^{'} E_{N} (T^{'})] = \sum_{N} C_{N} ψ_{N} e^{ich θ_{N} (T)}

$\Psi(x,t) = \langle x| \mathcal{U}(t,0)| \Psi, t_0 =0 \rangle = \langle x | \mathcal{U(t,0) \sum_n |n\rangle \langle n | \Psi \rangle} \\ = \sum_{n} \langle x | n \rangle \langle n | \Psi \rangle \text{exp}\bigg[-\bigg(\frac{i}{\hbar}\bigg)\int_{0}^{t}dt' E_n (t')\bigg] = \sum_{n} c_{n} \psi_n\text{exp}\bigg[-\bigg(\frac{i}{\hbar}\bigg)\int_{0}^{t}dt' E_n (t')\bigg] = \sum_n c_n \psi_n e^{i \theta_n(t)}$

Frage: Kann jemand sehen, warum dies nicht mit dem übereinstimmt, was Griffiths (in Buch „Introduction to Quantum Mechanics“, Seite 372) im Anhang unten bekam, wo er mit dem Beweis des Adiabatensatzes beginnt? Das bekommt er $c_n$ Und $\psi_n$ sind beides Funktionen der Zeit. Wo habe ich in dem, was ich geschrieben habe, einen Fehler gemacht? Danke.

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Adam · Answer 1

Adam

Die Ableitung des OP geht davon aus, dass die Eigenzustände des Hamilton-Operators nicht von der Zeit abhängen, was eine starke Annahme ist, die nicht von Griffin gemacht wurde.

Tatsächlich sind im Allgemeinen die momentanen Eigenzustände von $\hat H(t)$ wird davon abhängen $t$ .

Ein Gegenbeispiel, bei dem die Ableitung des OP gut ist, ist der Fall eines freien Teilchens mit einer zeitabhängigen Masse:

\hat{H} (T) = \frac{{\hat{P}}^{2}}{2 M (T)} .

$\hat H(t) = \frac{\hat P^2}{2m(t)}.$

Benutzer101311

Okay, danke, aber ich versuche, die letzte Gleichung im Anhang mit dem Zeitentwicklungsoperator korrekt abzuleiten. Bitte geben Sie an, ob das Folgende richtig ist, wenn Sie jetzt Energieeigenzustände betrachten, die eine Funktion der Zeit sind.

Benutzer101311

Ψ (X, T) = ⟨ X | U (T, 0) | Ψ, T_{0} = 0 ⟩ = ⟨ X | U (T, 0) \sum | N (T ⟩ ⟨ N (T) | Ψ ⟩ = \sum ⟨ X | exp [- \frac{ich}{ℏ} \int_{0}^{T} D T^{'} H (T^{'})] | N (T) ⟩ ⟨ N (T) | Ψ ⟩ = \sum ⟨ X | N (T) ⟩ ⟨ N (T) | Ψ ⟩ exp [- \frac{ich}{ℏ} \int_{0}^{T} D T^{'} E_{N} (T^{'})] = \sum_{N} C_{N} (T) ψ_{N} (T) e^{ich θ_{N} (T)} .

$\Psi(x,t) = \langle x| \mathcal{U}(t,0)|\Psi, t_0 = 0 \rangle = \langle x| \mathcal{U}(t,0)\sum |n(t \rangle \langle n(t)| \Psi \rangle \\= \sum \langle x| \text{exp} \bigg[- \frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t}dt'H(t')\bigg] | n(t) \rangle \langle n(t)| \Psi \rangle \\= \sum \langle x | n(t) \rangle \langle n(t)| \Psi \rangle \text{exp}[-\frac{i}{\hbar}\int^{t}_{0} dt' E_{n}(t')] = \sum_{n}c_{n}(t)\psi_{n}(t)e^{i \theta_n(t)}.$

Amuzed Emergent Gauge Field · Answer 2

Die Tatsache, dass sich der Hamilton-Operator mit der Zeit ändert, impliziert, dass die Energie-Eigenzustände des Systems variieren. Dies liegt daran, dass sie, wenn sie sich nicht ändern würden, wahrscheinlich keine Energie-Eigenzustände des sich entwickelnden Hamilton-Operators wären. Wie du schon geschrieben hast, sollte die Korrektur in deinen Gleichungen stehen

| N ⟩ \to | N (T) ⟩

$|n\rangle\ \to |n(t)\rangle\$

C_{N} \to C_{N} (T)

$c_n \to c_n(t)$

Außerdem geht der Beweis nicht davon aus, dass Hamiltonian zu unterschiedlichen Zeiten pendelt. Auch wenn Ihre Annahme irgendwie nicht vollständig ist, sind Ihre Schritte richtig. In diesem Fall sollte der Zeitentwicklungsoperator folgende Form haben:

U (T, 0) = T e X P [- \frac{ich}{ℏ} \int_{0}^{T} D T^{'} H (T^{'})]

$U(t,0) = T\space exp\Bigg[-\frac{i}{\hbar}\int^{t}_{0}dt'H(t')\Bigg]$ wobei T angibt, dass es sich um eine zeitlich geordnete Exponentialfunktion handelt. Wenn auf einen Energieeigenzustand eingewirkt wird, wird dieser Operator zu

U (T, 0) = e X P [- \frac{ich}{ℏ} \int_{0}^{T} D T^{'} E_{N} (T^{'})]

$U(t,0) = exp\Bigg[-\frac{i}{\hbar}\int^{t}_{0}dt'E_n(t')\Bigg]$

was am Ende die richtige Form ergibt.

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Anonym

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Adam

Benutzer101311

Benutzer101311

Amuzed Emergent Gauge Field

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